DOTE
a. Donc
et les limites d'intégration sont y: — 0, y: = D, ti — 0, %e —
me = ( de ( AR
Le volume cherché OADBC cest donc le quart du volume du parallélipipède construit sur OA, OB, OC.
324. Reprenons le problème du n° 8&9, mais en supposant que le solide à évaluer, au lieu d’être limité en avant et en arrière par des plans parallèles au plan XZ, soit limité par deux cylindres CBFG, ADHE, (fig. 67) dont la génératrice est parallèle à l’axe des z, et dont les traces sur le plan XY sont deux courbes données AD, BC, ayant pour équations
respectives Ji=qx) y px), y y.
Nous décomposerons encore le solide en filets prismatiques par deux systèmes de plans parallèles à YZ et à XZ, et si MNPafy représente un de ces filets, w l’aire de sa base Pafy, on verra comme dans le premier cas que le volume du filet est f(Ë,n) w, le point (Ë,n) appartenant à l’élément ©, Il y aura dans chaque tranche STT’S’ du solide entre deux plans consécutifs parallèles à YZ, deux filets extrêmes ayant pour bases les éléments curvilignes SsS’, T{T’, que l’on pourra négliger dans la sommation, parce qu’ils ont un volume moindre que les prismes rectangulaires construits sur leurs dimensions Fig. 67. maximum parallèlement aux axes, et que la somme des aires des bases de tous ces prismes a pour limite zéro. On aura donc, d’après la remarque faite au N° 859 sur les intégrales doubles,
V—= lim Zf(Ë, n) O,
la somme 2 s'étendant à tous les éléments rectangulaires © compris dans l'aire ABCD ou T, d’où
V— fr f(c,y) dr.
Ramenant cette intégrale double à deux intégrations par rapport à x etày,ona Le Ye (5) v—| dx | f(x, y) dy.
Ti Ya C’est la même expression que (3), mais les limites 7:, y, constantes dans le premier cas, représentent ici des fonctions | | der Calculons, par exemple, le volume compris entre la surface OCDC’D’ (fig. 68) du paraboloïde
elliptique 2 = ax + Bye, le cylindre vertical qui a pour base l’ellipse | ABA’B’ dont l'équation est Fig. 68, Xe y’ ; a 41h? :
et le plan XY.
Nous trouverons immédiatement, par l'équation de l'ellipse,
b b Leman nn ice
et pour les limites d'intégration par rapport à x, %41 — — @, %2 — + a. Donc
a Ya a B Va a Par Pat + Bye) dy = à (pau (y = y) + É (y = vo de
o Yi Oo
On a d’ailleurs HER 205 3 pp Eee, gigi = at),
ou, en introduisant une variable auxiliaire œ par l'équation x — a sin, ee L ce qui donnera ® — 0 et p—— pour x—0,x— 4,
Ya — Yi = 2b cosp, y5 — y} — 2b5 cop,
donc T T
V — 4aba5 (Ê sin’® cos?o de + ab F cost do.
Mais, d’après les formules du n° 320, on a
Li 7 ( sin?® cos?o do — Ê cos? do — Ç cos‘o do — = : (0) O (o) 1
T 2 3 cos‘o do — —"T, h Age 4
d'où, réductions faites, Ve ab (a? + Bb?) — : ab,
si l’on désigne par c le z du paraboloïde qui correspond à x — a, y —b.
322. Ce qui précède conduit à l'évaluation du volume compris sous une surface fermée F(x, y,z)—0, que nous supposerons d’ailleurs ne pouvoir être coupée en plus de deux points par les parallèles à l’axe des z. L’équation de la surface, résolue par rapport à z, donnera deux valeurs
Zi — f1(2, y); Ze = fa(x, y), ART Fig. 69. qui se rapporteront aux deux points M’ et M (fig. 69) projetés en un même point P(x,y) sur le plan XY. Traçons
sur le plan XY le contour fermé ABCD qui renferme les projections de tous les points de la surface, élevons sur ce contour une surface eylindrique parallèle à l'axe des z, A’AB’BC/CD’D, A’B'C'D’ étant la courbe commune à ce cylindre et à la surface donnée. Cette courbe séparera, sur la surface, la partie supérieure S; qui répond à l’ordonnée z2, de la partie inférieure S; qui répond à z1, et le volume cherché sera la différence des volumes compris entre la surface S: et la surface cylindrique d’une part; entre la surface S, et la surface cylindrique d’autre part. On aura donc, en appliquant l’équation (5),
(6) ve “dr \ Cfa(x, y) — fifa, y)] dy,
Y1, Y2 étant les fonctions de x qui représentent les deux ordonnées de la courbe ABCD pour un même x; x, et x: les valeurs extrêmes de x : ÉARE le champ d'intégration T, limité par ABCD.
Il est bon d’observer que l’intégrale TS
[( Cfa, y) — fi Ce, y)] dy
n’est autre chose que l’aire œ(x) de la section faite dans le solide par le plan x, ce qui ramène à la formule (1) du n° 343. On peut aussi se servir de l'équation |
V— Ja (fte 9) — file, y) dr,
à laquelle on arriverait d’ailleurs en décomposant le volume V en filets verticaux par des plans ou des surfaces cylindriques parallèles à l’axe des z.
323. Habituellement, la ligne ABCD, qui forme le contour apparent de la surface sur le plan XY, est la trace sur ce plan d’un cylindre vertical circonscrit à celle-ci, et la ligne A’B'C/D’ est la courbe de contact du cylindre et de la surface. Le plan tangent, commun à la surface et au cylindre, est donc parallèle à l’axe des z en tous les points de A’B'C/D’, ce qui donne, pour ces points, les deux équations
Éliminant z entre ces deux équations, on aura, entre x et, une équation o (x, y) — o qui sera celle du contour ABCD et qui fournira y et y2. Quant aux valeurs x, et x: qui se rapportent aux limites du contour
ABCD dan: le sens de l'axe des x, dans les cas ordinaires, elles répondent aux points A et C pour lesquels la tangente à ABCD est parallèle à l’axe des y, et le plan tangent à la surface normal à l’axe des x. Ces points sont caractérisés par les équations
F(x, y,z) —0, F, (ty; 2) = 0 1F; (x; y; 7) —0;
L'élimination de y et de + donnera les valeurs de x, et xe. 3974. La décomposition du volume en éléments prismatiques par des plans parallèles aux plans coordonnés se présente naturellement, mais elle n’est pas toujours celle qui conduit aux intégrations les plus simples. Soit à chercher le volume V entre la sphère at Lyt Las = a, le plan XY, et le cylindre vertical OPXMA (fig. 70) qui a pour base un demi-cercle T décrit sur le rayon OX comme diamètre dans le plan XY. En décom- Fig. 70. posant T en éléments « par des droites partant du point O et par des cercles ayant ce point pour centre, comme on l’a vu au n° 866, on aura
V=( ft,9) dt = (a rdr /a? — r?,
a cos 0 le] na
car on a, par l’équation de la surface,
128 CRETE PDT EU 2 2 32=V/a —x —y —=p/at—r!,
et les valeurs de r qui se rapportent aux extrémités O et P d’un même rayon vecteur du cercle sont r —0 et r — a cos0. On a d’ailleurs
a cos 0 ————— a? — y?}? la cos0 aÿ — Sin?
are] | D LS er
[e) 3 e) 3 d’où T T 3 PS LI Sp Fa — sin50) d9 =® Fe — sin 0 + cos? 6 sin6) de, 320 2210
ou, calcul fait,
En quadruplant, on aura le volume total compris entre le cylindre complet et la surface de la sphère.
Exercices.
4. Calculer le volume V compris entre le conoïde dont l’équation est cz—y Va? — x, le plan XY, et les plans x —0, x —a; y —0, y —b.
ra?b?
k. ee &c
2. Volume compris entre la surface gauche qui a pour équation
:=oarctg?»
le plan XY, et les plans x—0, x —=a; y —=0, y —b. br R. V= ab arc 18 42 (0% — at) la? 4-6) at LLat — 91.0 — 2].
Sie —b—tc, on a
8. Volume compris entre la surface e77 — COSX COSY, le plan XY,ebles/plans®æ=0x—=17;2 1/0; 7—=7T.2. R. On est ramené à chercher l’intégrale de I. cosæ dx entre o et x : 2, et l’on y arrive en observant que
TT 2 LU 1{2, sin 2x Leosede = | Lsinode =} | Éd dæ ; (e] (e] 2 Jo 2 que, d’autre part, LL 4 227 AE 2:06 Lsinards =} | Lsinade = | 1, sin x dx, o 2 Jo o On trouve ainsi T 2 n° l.cosædæ——2=l.2, V——1.2.
4. Volume V compris entre la surface z — e*"Y cos (x + y), le plan XY, et les quatre plans verticaux représentés par équation T HER
T ST AR. V—=e—e ?,
5. Volume OADBC (fig. 71) compris, dans l’ellipsoïde x? y° 22 PORN TN en entre la surface, les plans coordonnés, et le plan ABD mené par les sommets A et B parallèlement à OZ.
e bx R On a ici %X, —0O;, Xe =; Y1 —=0; ler ete
b Ee v— pa (SV/2— 4).
C’est la huitième partie du volume qui reste lorsqu’on coupe un ellipsoïde par quatre plans parallèles à un même axe et Fig. 71. passant chacun par deux sommets adjacents non situés sur cet
axe, La somme des quatre solides retranchés a pour valeur
en (8—5V/2).
6. Volume total compris sous la surface qui a pour équation 2 2 2 2 @5 EL y5 + 35 = ai, R. La partie comprise dans le trièdre des coordonnées positives est le huitième du volume total. On a
2 2 M0; Ma 04, Ya O0) Va— (a — 0
}?« Pour faciliter la première intégration on pose
y —=(a5 — 5)? sine.
On trouve V — 47aÿ : 35.
3. Volume V compris entre la sphère de rayon « qui a l’origine pour centre, le plan XY et le cylindre vertical qui a pour équation æt(x° L y°) — a{x? — yÿ*) — 0.
R. On emploie la décomposition du n° 834,et l’on a
as fr É
8. Une surface gauche est engendrée par une droite PQ coupant l'axe OZ sous un angle constant x, à une distance du point Q proportionnelle à l’angle 6 que fait le plan (OZ, PQ) avec le plan XZ. Trouver l'équation de la surface et le volume compris entre cette surface, le plan XY et un plan ZOA qui fait avec XZ l'angle 0, < 2x.
R. On trouve pour l’équation de la surface entre les coordonnées (z, r, 8), a étant constant,
2 = 00 — r'cotp.
et pour le volume
I / = — a tgv,0.
mi
9. Démontrer que, si l’on rapporte les points de l’espace à un système de coordonnées sphériques (r, 8, 4), le volume compris sous une surface fermée r — (6, 4), le pôle étant pris à l’intérieur de la surface, aura pour expression
T T Ve=x | 7 f(6, #)5 sin 9 de.
