K 2, QUADRATURE DES SURFACES COURBES EN GÉNÉRAL
323, De même que la longueur d’un arc de courbe, l'aire d’une portion de surface courbe doit être définie. Soit (C’) un contour fermé A’B'C'D’ (fig. 72) tracé sur une surface courbe : l’aire de la portion de surface renfermée dans ce contour (C’) est la limite S vers laquelle tend l'aire d’une surface polyédrique à facettes triangulaires infiniment petites MNM', inscrile dans cette portion de surface et s'appuyant sur un contour polygonal inscrit dans le contour (C’). Mais il faut démontrer que cette limite existe et est indépendante de la loi qui détermine les facettes indéfiniment décroissantes.
Projetons le contour A’B'C'D’ sur un plan convenablement choisi XOY, en Fig. 72.
ABCD, et soit T la région limitée par ce contour (C). Nous admettrons 1° que les angles des facettes triangulaires ne puissent pas tendre vers
zéro; 2° que, l’équation de la surface étant
z = f(x, y), la fonction f et ses dérivées partielles p — f;(x, y), 9 = f} (x, y) soient des fonctions simples, continues de +, y dans la région T, ce qui entraîne la conséquence qu’en aucun point de la portion de surface à évaluer le plan tangent ne soit normal au plan XY. Prenons une facette MNM’ du polyèdre, ayant pour sommets
M(x,y,2); McHh,ytk,z+0; N(x+h,y+k,z+"); son aire w” sera donnée par l’équation 20 — MM’ - MN : sin NMM’ — MM'-MN:y/1 — cos NMM'
= V/(h2 LE + l2)(h"2 + k'? 4/3) A (hh + kk' 30 TOC = (hk — KR} LRU Uk) Eh — RP),
et sa projection Pa — « sur le RAS XY sera exprimée par la même formule en faisant | — l' — 0,
20 = p/(hk — kh}.
Mais la formule de Taylor donne, 0 étant > oet < 1, = f{e-h,y +4) — Fey) = hf (e + 0h y 06) HHf! (+0h,y +08)
et comme les triangles P«B décroissent indéfiniment, que les fonctions f- et f, sont continues dans la région T, on peut (488) supposer que l'oscillation de chacune de ces fonctions soit moindre qu’une quantité arbitrairement petite « dans chacun des triangles P«f; les coefficients de h et de k diffèreront donc respectivement de f! (x, y) et de f/(x, y), en valeur absolue, d’une quantité moindre que o. En désignant donc, dans tout ce qui suit, par la lettre n affectée de divers accents ou indices, une quantité comprise entre — 1 et + 1, nous pourrons poser
l= hf (x, y) + no] + k Cf (&, y) + mel.
Soient p et p’ les côtés Pa, PB du triangle projeté, z l’angle «P£ qu'ils comprennent; et k étant numériquement moindres que p, on peut écrire encore
E— ph + qk' + 20»:p, et de même = ph + qh + 2m,p’,
d'où l’on tire, en observant encore que h, k sont moindres que p; h et k’ que p’ en valeur absolue,
kU — 1h = p{kh! — hk') + 40n/'pp,
IRERIE= q(Eh La. hk') + 4on)/' pp’.
Substituons dans l'expression de w’, mettons en facteur sous le radical (ER — hk'} = 40° — p?p"? sin°x, il viendra @ = wp/1 + (p + 40n/’ cosec )° —- (q + 40n//’ cosec æ)°.
On voit sans peine que la valeur du radical est comprise entre les deux quantités
+ + p? + q° + 40 cosecz J/n/'? + n'”2, 1 + p? + q° — 40 coseez p/n/? + n’’?,
Rae
car si on élève ces trois expressions au carré et qu’on les compare, on reconnait que cela revient à l'inégalité
VIH pq En > NA (pr +”)
qui est évidente en vertu du théorème (1, Il). I1 s'ensuit que w” peut être représenté par une expression de la forme suivante (— 1 <À< 1):
@ = w(p/1 + p° + g2+ 8 cosec x).
Nous aurons donc, Z désignant une somme qui s’étend à toutes les facettes, ki
Zw' — Zop/1 + p? + q° + 8a2lo cosec x.
D’après les suppositions faites sur les limites de grandeur des angles des facettes MNM’ et d’inclinaison du plan tangent à la surface sur le plan XOY, nous devons admettre que, pour aucune des facettes, WA sinz ne devient plus petit qu’une fraction déterminée; cosec admet donc une limite supérieure H; À est compris entre — 1 et +1, donc ZA cosec x est, en voleur absolue, moindre que HT, T désignant l’aire comprise dans le contour (C). Comme co est abitrairement petit, on en conclut que le dernier terme a pour limite zéro lorsque les facettes MNM” tendent vers zéro. D’autre part, la sorime des éléments Paf — «© compose l'aire T si le contour (C) est polygonal, ou a pour limite Paire T si ce contour est curviligne. On a donc, en général,
lim Zop/T + p° + q° — dt + p? + q°, d'où, S étant la limite de Zw’,
(1) S— [dt 72 + p° + 9.
Il est ainsi démontré que la surface du polyèdre inscrit tend vers une limite déterminée, et que cette limite est la même, quelle que soit la loi de détermination de ses faces, pourvu qu’elles soient toutes infiniment petites et satisfassent aux conditions indiquées.
On remarque que, d’après les formules des cosinus directeurs de la normale à une surface (288), le radical représente 1 : cos »,v étant
l'angle aigu de la normale à la surface au point (x, y, z) avec l’axe des z positifs. On peut donc écrire aussi
Tr COS?
Nous avons supposé dans notre démonstration 4° que la fonction f(x, y) était une fonction simple dans la région T ; 2° que le plan tangent n’était, en aucun point de cette région, normal au plan XY. Si ces conditions n'étaient pas réalisées, on partagerait l’aire à évaluer en plusieurs parties dont chacune y satisferait, ou l’on changerait le plan de projection XY.
826. L'intégrale double (1) se ramène, comme d’habitude, à deux intégrales simples successives. Si l’on suppose que le contour (C) ne soit coupé en plus de deux paints par aucune parallèle à l’axe des y, et si l’on désigne par y: = p1(x), y2 — px) les valeurs de y, fonctions de x (Yi Ye), qui répondent à une même valeur quelconque de x sur ce contour, par æ1, æe (ai << 22), les valeurs extrêmes de x dans le champ d'intégration, on aura
(3) s— dx j IPATI UPS TE
Si le contour ABCD se réduit à un rectangle dont les côtés sont parallèles aux axes OX, OY, y: et y: seront des constantes données comme x, et X2. |
Si l’on a à évaluer l’aire d’une surface fermée F(x,y,z) — 0, que les parallèles à l’axe OZ coupent généralement en deux points, on opérera comme au n° 827%. On tracera sur le plan XY le contour ABCD qui renferme les projections de tous les points de la surface; le cylindre vertical qui aura pour base ABCD déter-
Fig. 73. minera sur la surface un contour A'B'C'D’ qui partagera cette surface en une nappe supérieure S2 dont l’ordonnée z: se déduira de l’équation F(x,y,z) — 0, et une nappe inférieure Si. On évaluera séparément les portions S, et S2 par la formule (2). Ordinairement, le contour ABCD se déterminera comme il a été expliqué au N° 3272.
322. Considérons, sur la surface conique z? = 2xy, l'aire OADB
(fig. 73) limitée par les intersections de la surface par les plans Z—0,X—4,y—0,y— 0. On à d’abord
pl, q=—5, 1tptg = EN,
en ayant égard à l'équation de la surface. Donc
s—— (a ef Lay — fard (+ ( © (ray 240 do /xy V2do Joy padoy/x do et si l’on effectue les intégrations,
AE ab À a at) =! Are
Si, sur cette même surface, on voulait évaluer l’aire délimitée par les axes OX, OY et par le cylindre vertical
dont la tracc sur le plan XY est une parabole, tangente à OX pour x — 4 et à OY pour y — b, on ferait, dans la formule (3),
HS X1—O, Lo—G, Yi—=O, D En CO .
On trouverait
PRO AOROI
et par suite
aff (eff OT
On a, tout calcul fait, I ab | = —— b .
S—=\/ +0 378. Comme nous l’avons exposé dans la théorie des intégrales doubles, on peut employer, pour évaluer l'intégrale (1) ou (2), tel mode de décomposition de la région T que l’on juge convenable. Ainsi, on
peut, comme au n° 366, se servir des coordonnées polaires r et 0 et l’on a |
0e ro rdr (4) = | æ
r, COS Y
O1, 0e, ra, re ayant la même signification que dans ce numéro.
Il suffira d'exprimer 1 : cos » ou //1 + p? + q° en fonction des coordonnées r et 0, d’après les formules du n° 426. On arrive souvent ainsi à des intégrations plus simples.
Soit, par exemple, à évaluer sur la surface sphérique
x? + y? + 22 — aq? | l'aire AMXA délimitée par le plan XZ, par le cylindre vertical OPXMA décrit sur le rayon a comme diamètre (874, fig. 68). La normale se confondant ici avec le rayon de la sphère, on a | /u? —r° ee 207
Z COS V=- — a a
et en exprimant en coordonnées polaires l'équation du cercle de base,
on voit que | | "10, ls—0C050, 0, 00 72;
d’où
— a (1 —sin0),
rdr ( cos0 rdr
o COS? le) | fa —7r?
d’où l’on tire facilement
TT
$— a ( — sin 0) d0 = a? (5 1).
le) 2
En quadruplant, on aura, pour l'aire totale détachée de la surface sphérique par le cylindre prolongé dans les deux sens, 2a°(T — 2).
329. Voici un exemple remarquable de l'avantage d’un mode de décomposition convenable, en ce que l’on ramène à des intégrales simples un problème qui dépend, généralement, des intégrales doubles. Considérons l’ellipsoïde à trois axes inégaux.
2 2 2 matter G>b>0.
Cherchons sur la surface le lieu des points (x, y, z) pour lesquels cosy a une valeur constante w. D'après les formules du n° 288, ces points vérifieront l'équation
z? ; x? y° 22 ou (Er ele)?
C at dec
et en éliminant z° entre cette équation et celle de la surface, on aura
pour la projection du lieu cherché sur le plan XY, en posant
a?— cc? — a?k?, b? — c? — b?k”?, l'équation at1—hu , y? 1 —k''u?
C’est une ellipse dont les demi-axes ont pour valeurs
ap/1—u bl/1—u?
Aya PUF si lon fait A—p/1—ku, A'=y/1— k''u?, et dont l'aire E est donnée par l’équation
E — rab ———— Ta AA
Cela posé, décomposons la région T, qui est ici limitée par l’ellipse principale située dans le plan XY, en éléments du second ordre © au moyen des ellipses E et d’un système de rayons. Pour tous les éléments eompris entre deux ellipses w et u + Au, cosy ayant la même valeur,
(e) la somme D se réduira à AÂE : u, AE étant la différence des aires
des deux ellipses.
On aura donc, w variant depuis 1 jusqu’à o dans l'intervalle de l'intégration pour la nappe supérieure de l'ellipsoïde, l'expression
Pour transformer cette intégrale, observons que
dE ,E Edu aout
et que
Edu b du b du TEE É PNR A4
D'autre part, par différentiation,
AA’ k2A' k'?A AA’ k2A’ A d. F3 = — A QU UE OU A du — "=; du £?A’ du du pr Lu. | ARE z = AA A d’où, en substituant, Edu AA du Re ERET et = ALES À | rab eo LE du—(1—k |
et par suite
dE 1—u? © AA", A", k nds ne nl
D’après cela, on a pour l’expression de la surface totale de l’ellipsoïde 1—u? — A’A'?]1 1 A7 du S = — 2r0b | —— k2\ —du—(1 —{k?
2T0 | AN | — 2rab| Va du—(1—k À nie En remplaçant A?A’? par sa valeur et faisant u — 0, u = 1, on trouve
pour le premier terme 2xab p/(1 — k?) (1 — k'?) = 27c?, et enfin
eee (pee (à za tal, S — 27c + arab [Re T du (1 te
Ces deux intégrales se ramènent aux intégrales elliptiques (826, 342) en posant ku — sin ®.
Exercices.
4. Calculer l'aire de la surface z — c arc tg (y : æ) comprise entre les plans XZ, YZ et le cylindre vertical x? + y = a?.
R. s= TT cel a + AVES |.
