Le paraboloïde à axe vertical Là LE — = AE 2a Yu 2b

est coupé par une sphère de rayon c qui touche, comme lui, le plan XY à l’origine des coordonnées. Evaluer la portion de surface sphérique limitée par la courbe d’intersection. R, On trouve, par l'application de la formule (4),

S—4rcV ab.

Tr ARONE

8. Le même paraboloïde elliptique (x) est coupé, par le ej lindre elliptique vertical

a — nl 0 FE EE suivant une courbe. Trouver l’aire du paraboloïde limitée par la courbe d’intersection,

arab, 3 À. S nm (2? PF I).

4. Trouver, sur la surface du même paraboloïde (x), les courbes pour lesquelles cos » est constant, et l’aire limitée par une de ces courbes, » = »,.

R. On emploiera le mode de décomposition du n° 838, et l’on trouvera, pour l’équation des courbes projetées sur le plan XY,

Fa — —= te? »,

27rab ( 1 Si — I |}.

3 cos®»,

5. Trouver l’expression de l’aire totale d’une surface fermée dont l’équation est

donnée en coordonnées sphériques (r, 6, 4) (#38), le pôle O étant dans l’intérieur de la surface.

(27 (rrSsin0 dÿ A. D — dy ee P O O

et pour l'aire demandée

P étant la distance du pôle au plan tangent.

@. L’équation d’une surface étant donnée sous la forme

æ— f(u;v), y—=/filu,v), 2—=f:(u,v),

où u, v sont des variables indépendantes, montrer que l’aire comprise dons un contour fermé (C’) sur la surface a pour expression

foudz 704. fozèm dd Ÿ? fèxiy yoz\ sæ= (au fev /(2E-x2) +(55-5%) 1 Judv duov) ?

les limites des intégrales étant celles de la région déterminée sur le plan XY par la projection du contour (C’).

2. L’aire totale de la surface d’élasticité de Fresnel (x? +- y? —— 22): AL de (ax + by? -|- c?z°) = 0 est égale à celle de l’ellipsoïde qui a pour demi-axes be : a, ca: b, abc. R. Pour démontrer ce théorème, on calculera l’aire de la surface d’élasticité par la formule de lex, 5, et celle de lellipsoïde par celle de l’ex. 6, en posant ca

bc .

Œ —— Sin w COS V — a » ÿ b

; : ab SINUSINV, 2—— COSU,

8. Une courbe tracée sur la sphère de rayon I est définie par une équation entre les coordonnées p et w (Ch. XXI, cx. 44). Montrer que l’aire sphérique entre cette courbe et deux rayons p, et p qui répondent aux angles w — 0 el w, a pour expression

ü) S—=w—\ cosp du, O Si la courbe est fermée et le pôle placé à l’intérieur, o — 27 donnera l’aire totale. 9. Appliquer cette formule à la loxodromie sphérique qui coupe le rayon L sous un angle constant.

R. On trouve, pour l’équation de la courbe et pour l’aire entre les angles o et w, eh L 640

ta

Pet, S—u+-l.