S 4. DES SÉRIES

26. On appelle série une suite indéfinie de quantités wo, Wi, ... Un, formées suivant une loi déterminée. Le terme w, se nomme le terme général de la série; son expression, donnée en fonction de l'indice n, fait connaître toute la série. Soit

Sn = Uo + +. + uns la somme des n premiers termes de la série. Si, pour une valeur indéfiniment croissante de n, la somme 5, tend vers une limite finie et déterminée s, la série est dite convergente ; s est la somme de la série. Si, au contraire, s, ne tend vers aucune limite ou croît indéfiniment, on dit que la série est divergente. Ainsi, d’après les élements, la série

1Ha—Hat... + ar +...

est convergente si WA &« < 1; elle a pour somme, dans ce cas (1 — «)”!. Si 4 > 1, la série est divergente, s, croît indéfiniment avec n. Si a — — 1, la série I—i1+i— it.

est encore divergente, car 5, a alternativement pour valeur reto lorsque » croit indéfiniment. Soit encore la série

i I 1 en) à ne En) (Ce) En observant que l’on a I o# I I (@Ln—1)(atn) (aEn—1) oœ+n en voit que ï I 1 1 t I

I I ne SU rm NE € CE PONT mA Ue

RTE

et que cette expression a pour limite 1 : & lorsque n croît sans limite. La série est donc convergente et a pour somme 1: : «, pour toute valeur de « autre que zéro.

La série

(x) UE ui EE.

se désigne souvent, pour abréger, par Zu...

27. Si la série Zw, est convergente, ilest clair que la série u, Lu, est aussi convergente et a pour somme s—s,. Désignons par R, la somme de cette série. Nous aurons

LT LE En 1 fe

R, est ce qu’on nomme le reste à partir du n’*" terme. Réciproquement, si la série u, - u»,, + ++ est convergente pour une valeur donnée de n, la série totale Zu, sera aussi convergente. On peut donc toujours, dans l'étude de la convergence d’une série, faire abstraction d’un nombre arbitraire de termes à partir du premier.

28. Propriétés générales des séries. — I. Dans toute série convergente, le terme général u, a pour limite zéro lorsque n croit indéfiniment.

De l'équation

Sn44 — 8n = Un

on déduit que, 5:,1 et s, ayant une même limite s, leur différence w, tend nécessairement vers zéro. Le théorème I du N° 48 montre qu’il en est de même pour la différence

Sn+p — Sn = Un À Unpi À tee + Unyp p désignant un nombre entier tout à fait arbitraire.

29. — II. La condition nécessaire et suffisante de lu convergence de la série | (L)NS Uo + ui He Lou, +.

est que la somme (2) Un + Unis + ee Unipnt = Snip — Sn d’un nombre p de termes successifs à partir du nè"e ait pour limite zéro, lorsque n croît indéfiniment, p restant toujours arbitraire.

Cette condition est nécessaire, d’après la remarque précédente; elle est suffisante, d’après le deuxième principe de la théorie des limites (48). Il faut toujours observer que p peut être constant, ou variable suivant une loi quelconque, même indéfiniment croissant.

LEMOR NEPe

30. — III. Si les termes d’une série (A), à partir d'un rang déterminé, sont tous, en valeur absolue, inférièurs ou égaux aux lermes correspondants d’une série convergente (B) à termes positifs, la série (A) sera ellemême convergente; car, dans la série (A), la différence s,,, — $, aura une valeur absolue inférieure ou tout au plus égale à celle qu’elle possède dans la série (B), et comme, dans celle-ci, elle a pour limite zéro quand n croit indéfiniment (28), elle a aussi pour limite zéro dans la série (A), qui est donc convergente.

34. — IV. Si l’on multiplie les termes successifs uo, u1, ... u,, .… d’une série convergente à termes positifs par des facteurs &o, ct «.., Gn, +. de signes quelconques, mais dont la valeur absolue ne surpasse pas un nombre déterminé À, la série Zc,u, ainsi formée sera encore convergente.

On aen effet (#)

Con Un À GngtUngt À te À Ontpt Untpt = (Un Uni 2e He Ungp4) 5e AM (ans Ant se hip 6

le premier facteur a pour limite zéro quand n croît à l'infini, puisque la série Zu, est convergente ; le deuxième est égal ou inférieur à A, donc le produit a pour limite zéro, ce qui entraîne, d’après le théorème II, la convergence de la série.

Si l’on a &o — à — &o — .., la somme de la série Za«,u, sera évidemment «,S, s étant la somme de la série Zu...

82. Une série dont les termes ne sont pas tous de même signe est dite absolument convergente, lorsque la série formée des valeurs absolues de ses termes est convergente.

V. Dans une série absolument convergente, on peut changer l’ordre des termes comme on le veut, sans que la série cesse d'être convergente et d'avoir la même somme.

Soit Go TETE TE TE une série absolument convergente, s sa somme, r, la valeur absolue de

#7, et admettons que 2r, soit convergente. En disposant dans un autre ordre les termes de la série (1), on formera une nouvelle série

(3) Do + Va + ee HE Un Ho;

soit s, la somme des m premiers termes de cette série. On pourra prendre m assez grand pour que s,, renferme les n premiers termes de

la série (1), avec d’autres indices supérieurs à n — 1, mais inférieurs à n + p. Donc

Sm = 8n + y + Ugo + us, d’où

VA (su — 82) Er, re er rm ag ee A rappns

Comme la série 2r, est convergente par hypothèse, cette dernière somme tend vers zéro quand » croît indéfiniment (28); il en est donc de même à fortiori de sy -— s,, et comme m croit indéfiniment avec n, que $ à pour limite s, il s'ensuit que $, a pour limite s lorsque m croît à l'infini, ce qui démontre la proposition.

Remarques. — 1° La démonstration même suppose que la différence des rangs qu’un terme déterminé u, occupe dans les deux séries ne puisse surpasser tout nombre donné. Dans le cas contraire, si, par exemple, on formait la série (3) en écrivant d’abord tous les termes de rang pair

- de (1), puis tous les termes de rang impair, on tomberait sur les séries multiples dont nous ne nous occupons pas ici.

2° La propriété n’est vraie que pour les séries absolument convergentes. Ainsi, la série

I I I € I I ES Un alfE

est convergente et a pour somme zéro, mais elle est relativement convergente, car la série I LR TARN TIENNE LIN ET Dir iii pe 2 SARA LOTUS composée des mêmes termes écrits dans un ordre différent, équivaut à la série

fs I I I —— = us .….