DÉFINITION ET GÉNÉRATION DES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES

396. Le calcul intégral, comme on l’a vu au n° 282, a pour but de remonter, des relations données centre les variables et leurs différentielles, aux relations entre les variables seulement. On nomme équations différentielles ces équations qui renferment à la fois les variables et leurs différentielles ; celles qu’on en déduit entre les seules variables sont les intégrales des premières.

Le problème de l’intégration présente différents cas que nous étudierons successivement : 1° Deux variables x et y sont liées entre elles par une équation qui renferme la dérivée de y par rapport à x,

f(on TE):

c’est ce qu’on appelle une équation du premier ordre. Elle est en même temps du premier degré si la dérivée n'y entre qu'à la première puissance, auquel cas on peut l'écrire

Si, dans cette équation, f(x,y) ne renferme pas y, la dérivée est exprimée en fonction de x seul, et l’on retombe sur le problème des quadratures (Livre troisième).

2e L’équation différentielle renferme les dérivées de y jusqu’à un certain ordre n inclusivement : l’équation est dite alors de l’ordre n.

Elle a la forme ne x LR CE BRON À RE 10 Pax' ax 3) nie

3° Plusieurs fonctions d'une même variable indépendante t sont liées à celle-ci par un nombre égal d'équations, où figurent en outre leurs dérivées par rapport à f{ jusqu’à un certain ordre. C’est un système d'équations différentielles simultanées.

Outre ces équations différentielles ordinaires, dans lesquelles il n’y a qu’une variable indépendante, on considère d’autres équations dans lesquelles une fonction de plusieurs variables indépendantes et déterminées par ses différentielles totales ou partielles. Nous ne les étudierons pas ici.

39%. La génération des équations différentielles peut se concevoir d’une manière qui donne une idée de la nature de leurs intégrales. Soit

(1) LE (x, y; C) —'o une équation entre deux variables x, y, qui renferme en outre une

constante arbitraire C. En la différentiant, on a

OF , 0Fdy (2) ER +— Ad

0x | Oy dx et cette équation renfermera encore, en général, la constante C. Mais si l’on élimine C entre (r) et (2), on aura une troisième égalité

ne renfermant plus cette constante, et qui, par suite, aura lieu entre x, y, dy : dx, quelle que soit la valeur particulière qu’on attribue à C. Cette équation (3) est une équation différentielle, exprimant une propriété

commune à toutes les courbes qui résultent de l’équation (1) par la variation du paramètre C. Par exemple, l'équation

donne par différention

ct en éliminant C,

dy AU y° — 28ÿ 5 — y dr? 0;

équation différentielle à laquelle satisfont toutes les paraboles que représente l’équation (x) lorsque le paramètre C reçoit toutes les ELA possibles.