Supposons une équation avec deux constantes arbitraires
différentions-la deux fois de suite, éliminons C; et C2 entre les trois équations ainsi obtenues ; nous aurons une équation
(5) (> y 2, 0 EC
à laquelle satisfera toute fonction y de x comprise dans l’équation (4), quels que soient C; et C2.
Et, en général, si l’on a une ‘équation à deux variables F (x, y, C;, Ca, «.. Cn) — 0, renfermant # constantes Ci, C2, ... Cr, si l’on y joint les n équations obtenues en la différentiant n fois de suite, on aura un système de # + 1 équations entre lesquelles, en général, on pourra éliminer les n constantes. Le résultat sera une équation différentielle de
Ale ou d?y Le
dx da?” TT débarrassée des constantes arbitraires, et à laquelle satisfera toute fonction y de x définie par l’équation F —0, quelles que soient les valeurs particulières attribuées aux constantes Ci, Cr, .…. Cu.
On arrive donc à cette conclusion importante, qu’une équation entre deux variables x et y, renfermant n constantes arbitraires, peut être
l’ordre n
comprise dans une équation différentielle d’ordre n qui a au moins la même généralité et ne renferme plus aucune de ces constantes. Si donc on parvient à remonter de l'équation différentielle à la relation centre x et y, il faudra que les constantes C;, C2, … C, reparaissent dans l'intégrale.
TE
399. De quelque manière qu’on fasse l'élimination entre l'équation F (x, y, C1, C2, .. Cn) — 0 et ses n premières dérivées, on trouvera la même équation différentielle d'ordre n. Supposons par écble DES: et soient
dy d?
(4) Fay On Dos (3) (a 1, TE) — 0
l'équation primitive et l'équation du second ordre. Si, dans la première, on attribue à x une valeur arbitraire, et si l’on peut disposer des constantes C; et C+ de manière à attribuer à y et à sa dérivée des valeurs données pour cette valeur de x, la fonction y de x sera alors complètement déterminée, et par suite sa dérivée seconde. Ainsi d?y : dx? peut être considéré comme une fonction déterminée, en vertu de l’équation (4), des quantités x, y, dy : dx que l’on se donnera arbitrairement ; il en résulte que l’équation (5) est unique.
Le raisonnement serait le même dans le cas général,
Exercices.
PE NUE di dy?
