Q 1. CONSIDÉRATIONS GÉNÉRALES

416. Considérons d’abord une équation différentielle du second ordre entre x et y, résolue par rapport à la dérivée seconde de y par rapport à x,

dy dy (1) LEE 167 œ)

f désignant une fonction simple des quantités qui y figurent. On appelle intégrale de cette équation toute fonction y de x qui la vérifie identiquement quel que soit x, au moins dans un intervalle déterminé pour +. L'intégrale générale est celle qui renferme deux constantes arbitraires C,; et C2 telles que, pour une valeur donnée x, de x; on puisse les déterminer de manière à attribuer à y et à sa dérivée des valeurs données d’avanee, yo et y,. Toute intégrale déduite de l’intégrale générale par l'attribution de valeurs particulières à C, et à C2 est une intégrale particulière ; toute intégrale qui ne peut se déduire de l'intégrale générale par des valeurs particulières attribuées aux constantes arbi traires ou à l’unc d'elles est une solution singulière.

Nous démontrerons plus loin que toute équation de la forme (1), si la fonction f(x, y, z) satisfait à des conditions qui seront indiquées dans une région T des variables x, y, z, admet une intégrale y, fonction continue de Z dans cette région, dont on peut se donner arbitrairement les valeurs yo, y, de y et de dy : dx pour une valeur x, de la variable (Go, Yo; Y} appartenant à la région T). Géométriquement, l’équation (1) appartient à une infinité de courbes dont on peut se donner à volonté un point et la tangente en ce point.

Dans ces conditions, l'équation (1) admet donc une intégrale générale, et nous ferons voir que toute solution pour laquelle les valeurs de Zo; Yo, Yo appartiennent à la région T, rentre dans cette intégrale et n’est qu’une intégrale particulière. Ce ne peut donc être que dans les régions où les conditions que nous indiquerons ne seraient pas vérifiées, que l'équation (1) admettrait des solutions singulières.

44%. Ces propriétés s'étendent à des équations différentielles du 5e, du 4me ordre, En général, une équation de l’ordre n réduite à la forme normale

dy dy dy G) Bts eee)

si la fonction f satisfait à des conditions à définir, admettra une intégrale

générale renfermant n constantes arbitraires Ci, C2, …., Cn qui ne peuvent se réduire à un nombre moindre, et au moyen desquelles on la fonction

pourra, pour une valeur donnée x, de #, faire prendre à intégrale y el à ses n — 1 première dérivées des valeurs données d'avance, au moins dans une région déterminée. Toute intégrale de l'équation (2) dans cette region sera comprise comme tntégrale particulière dans l'intégrale générale, et répondra à des valeurs particulières des constantes. En dehors de cette région, les conditions essentielles n'étant plus vérifiées, il pourra exister des solutions singulières non comprises dans l'intégrale générale.

En éliminant les constantes C;, C2, ..… C, entre l’intégrale générale et ses n premières dérivées, on retrouvera l’équation différentielle (2), comme on l’a vu (898).