DER
qui est convergente, comme on le verra plus loin, et dont la somme est supérieure à 0,5.
On peut même établir cette propriété curieuse : Quand une série est relativement convergente, il est possible de disposer ses termes dans un ordre tel que la série converge vers une limite arbitrairement choisie A().
(4) Voir Tnoux, Elem. Theorie der Anal. Funct, einer complexen Veränd., p. 21.
LT Mees
Les séries convergentes étant les seules dont l'emploi soit légitime,
nous allons donner les caractères qui font voir si une série est conver-
gente ou divergente, en commençant par les séries dont tous les termes sont de même signe.
33. Séries à termes posuifs. — Lorsqu'une série Zu, a tous ses termes positifs, si s, ne croit pas indéfiniment avec n, la série sera convergente d’après le théorème du N° 49.
VI. Si, à partir d’une certaine valeur de n, le rapport u,11 : u, reste constamment plus pelit qu’une quantité fixe k moindre que l’unité, la série est convergente; s'il reste constamment supérieur à l’unité, la série est divergente.
On a en effet, dans le premier cas,
Uni € ku,, Un+2 « kun:1 < k°u,, Un+3 << k5u,, ..
donc la série Zu, a tous ses termes, à partir d’un certain rang, égaux ou inférieurs à ceux de la progression géométrique
Un + Unk + Uk +,
laquelle est convergente puisque l’on a k < 1; elle est donc aussi convergente (111).
Dans le second cas, les termes, à partir d’un certain rang, sont toujours croissants, et l’on n’a pas lim w#, — o.
Corollaire. — Si le rapport w,:1 : w, a une limite déterminée À lorsque n croît à l'infini, la série est convergente si À < 71, divergente si À > t. Car, dans le premier cas, l’on choisira un nombre £ tel que l’on ait
À <kE<1; le rapport Unys : Un, ayant pour limite À, finira par être toujours plus petit que k, et la série sera convergente d’après le théorème. Dans le second, le rapport U,44 : w, finira par surpasser constamment l'unité. Exemples : La série
I | I I | fire RS MU 12.21 Ris est convergente, car
Uni: I
Un n HA
a pour limite zéro.
Dans la série Ge QT EE + tot PE ES 1 TU @> 0)
le rapport d’un terme au précédent est égal à
CAE RNETS n
n+i ns
et sa limite est x. La série est convergente si x < 1, divergente si x > 1.
34. — VII. Si, dans la série (1) l'expression Vu. finit par rester
toujours plus petite qu'un nombre fixe k moindre que l'unité, la série est
convergente; si celle expression finit par rester constamment supérieure à l'unité, la série est divergente.
Dans le premier cas, pour toutes les valeurs de # qui surpassent un
certain nombre, on a
V HT RMTOUEUS SORT
la série a donc tous ses termes plus petits que les termes correspondants de la progression géométrique convergente
CE ne ee me LE et elle est convergente. Dans le second cas, w, finit par être toujours plus grand que l’unité ct la série est divergente. N ,— Corollaire. — Siy/u, a une limite À lorsque n croit indéfiniment, la
série (1) est convergente si À est < 1, divergente si À est > t. Exemple : Dans la série
à à MN 2 PA (oi n+—2 \" PAONOMC:D l'expression considérée plus haut a pour valeur n 2 dont la limite est x lorsque n croît indéfiniment.
La série est donc convergente ou divergente suivant que x est < 1
ou > I.
35. Dans les cas douteux où À = 1, on peut faire usage de la remarque suivante :
Pure
Si Zus, Zv, sont deux séries à termes posilifs dont la première est convergente el si, à partir d'une valeur N den, on a constamment
Unit Un+1 ?
Un Un la série Zv, sera aussi convergente.
Car on aura Un Un+1 Un Vus L—Unyis Unie € Unt2 LE —Ungas
Un Un+1 Un
la série Zv, aura donc tous ses termes, à partir de n =N, égaux ou inférieurs aux termes de même rang de la série convergente
et sera convergente. De même, si la série Zu, élait divergente et que, à partir de n —N, on eùt toujaurs
la série Èv, serait divergente.
86. Pour tirer parti de cette remarque, nous considérons d’abord la série
I I if in I Ep À (4) a le Rasta de Ni el
« désignant üne constante positive. Dans la série I I I I I I I en) E+(S+S)+(E+S+E+i)+e
chaque terme est égal ou supérieur au terme de même rang de la série (4); or, en groupant les termes de la série (4’) par r, 2, 4, 8, .… on trouve la série
re ot iaat
progression géométrique dont la raison est 1 : 2*71, qui est donc convergente si « > 1, et dont la convergence entraine celle de la série (4’), puisque la somme de ses x premiers termes est la même que celles des 2"— 1 premiers termes de (4’). La série (4) est donc aussi convergente (80).
4% Prenons, d’autre part, la série Ÿ I I I LS SE À I (4’) et(ets)+(etetete)+ dont chaque terme est inférieur au terme du même rang de la série (4).
En groupant les termes par 1, 2, 4, 8, .. on trouve la progression géométrique
Rtététe= (+ tost)
qui a pour raison 1: 2*7!, et quiest divergente, par conséquent, si x € 1, puisque la raison est > 1. La série (4) est donc a fortiori divergente. D'où cette importante proposition :
La série
+= ee. = +. À — ee (x > o),
est convergente lorsque a est plus grand que 1, divergente lorsque à est égal ou inférieur à 1. Ainsi la série
EN
dite série harmonique, a une somme infinie, quoique le terme général w, ait pour limite zéro, ce qui montre bien que la condition I est nécessaire, mais non suffisante pour la convergence.
37. VIII. — Soient Zu,, Zv, deux séries à termes positifs. Si l’on a constamment, à partir d’une certaine valeur de n,
(5) Un — — Un D A > o,
À élant une constante positive, la série Zu, est convergente. Si l’on a au contraire
. Ü 0 I . , . ° et si la série È — est divergente, la série Zu, sera divergente.
ñn
Il suit de l'inégalité (5) que l’on a
UnUn — Un HiUnt1 > Au, à 0;
Le |
A l'expression w,v,, constamment positive et décroissante, a une limite positive ou nulle k (49); la séric
2 (urvr — Un11Un41) — UoVo — WAV Was — UaUe + ve —= UoVo — À est donc convergente, et la série ZAw, — AZu, l’est a fortiori, puisqu'elle a ses termes moindres. De l'inégalité (6), il résulte
Un+1 Un I I
Un Un41 Un41 Un
Q l'E T4 I Q pos U ] et puisque la série Z — est divergente par hypothèse, la série Zu, l'est à
Un
plus forte raison (85).
® ’ 4 Q Q . I Si, dans ce théorème, on prend #,— 1, ce qui est permis, puisque 2 =
est divergente, on retrouve Île criterium VI. Dans le cas douteux où le rapport #11 : w tend vers l’unité, on fera v, — n — 1, ce qui est permis(&æ6). On aura
Uni1 Un1 Un Er, Un 41 —= ñn I art Re I , Un Un
et l'on en conclura cette règle :
IX. Si, dans la série (4) à termes positifs, le rapport d’un terme au précédent tend vers l'unité, la série sera convergente ou divergente suivant que l’on aura, à partir d’une certaine valeur de n,
u 1 Un+1 1 et) > 144, n (is u n
À élant une constante positive quelconque.
Si le premier membre tend vers une limite, la première condition sera remplie si cette limite est > 1, la seconde si cette limite est < x.
