ÉQUATIONS LINÉAIRES

418. On appelle équation linéaire d’ordre n toute équation de la forme

d'y dry G) dx" Et per

PTE + X,- Exy=x

X, X1, .. Xn 1, XA étant les fonctions données de x seul. Si X = 0, l'équation se po à

d'y (2) “us dent TF6 - + XIE dx Le X1y — DE O,

et s'appelle une équation linéaire sans second membre. Si, au contraire, on à XSo, l'équation (1) est dite complète ou avec second membre. Occupons-nous d’abord des propriétés de l’équation (2).

419. Propriétés de l’équation sans second membre. —1I.Toute intégrale particulière y, de l'équation (2), multipliée par une constante arbitaire C:, donne une solution plus générale de cette équation.

En effet, si l’on pose dans l’équation (2) y — Ciy1, toutes les dérivées de y renfermeront C, en facteur, et le résultat sera le même que si l’on avait fait y — y, et multiplié l'équation par C.. |

II. La somme y: + y: des deux intégrales de l’équation (2) est une nouvelle intégrale, car si l’on remplace y par y: + y: dans (2), on a le même résultat que si l’on faisait successivement y — y1, y — Y2, et que l’on ajoutât.

Il suit évidemment de là que la somme y, Æ y2 + ys de trois intégrales satisfait encore à l'équation (2), et ainsi de suite.

III. De là résulte cette propriété importante, que si l'on connait n intégrales particulières y:, y2, ... y, de l’équation linéaire sans second membre (2), et si on les multiplie respectivement par des constantes arbitraires C1, C2,... Cr, puis que l’on en fasse la somme, on aura encore une intégrale de l’équation (2), et comme elle renferme n constantes arbitraires, ce sera l'intégrale générale. Ainsi l’intégrale complète de l'équation (2) est représentée par la fonction

(3) y = Ciyi + Caya + ++ + Ciyn,

Yi Ya +. Yn étant des intégrales particulières convenablement choisies, el Ci, Ca, .. C des constantes arbitraires.

Mais ces intégrales y1, y2, .. y, doivent, pour cela, satisfaire à une condition, c’est que l’on puisse déterminer les constantes Ci, C2, ... Cn, pour une valeur donnée de x, de façon que y est ses n — 1 premières dérivées y’, y”, y"! prennent des valeurs arbitrairement choisies (447). Or, l'équation (3) entraine les suivantes :

y = Ciyi — C2y2 + + CrYn; y = Guy + Cyr + Ciys,

de eo eo Le éer oletle la lolo Ton dre

er 0C, Ve D LC ayE LE. + Cyr),

où y{° représente en général la dérivée d’ordre ? de y,. Pour que ces équations soient résolubles par rapport à Ci, C2, .… C, quelques valeurs qu'on attribue aux premiers membres, il faut et il suffit que le dénominateur commun des valeurs de ces inconnues, ou le déterminant

Yi Y2 .….. Yn

(s) ANUS Sn Te

Re Pt SEE soit différent de zéro pour toute valeur de x dans un intervalle (a, b).

Or, cette condition revient à celle-ci, que les fonctions Y1, y2 ... Yn ne soient liées entr’elles par aucune relation de la forme

(6) Ya —- eye +... + anÿn = 0, %1, Ge, .… an Étant des constantes déterminées.

En effet 1° si ces intégrales yz satisfaisaient à une telle équation pour toute valeur de z dans l'intervalle (a, b), en la différentiant n — 1 fois par rapport à x, on aurait un système de nr équations du premier degré EN &i, C2, .. An, dont les seconds membres seraient nuls et qui donneraient pour æ&1, &2, .… æ des valeurs nulles, à moins que le dénominateur commun de ces inconnues, c’est-à-dire précisément le déterminant À, ne soit égal à zéro. Ainsi la relation (6) entraine l'équation her

2° Réciproquement, si le dénominateur A est nul pour toute valeur de x dans l'intervalle (a, b), il existe entre les fonctions y1, y2, ... yn une relation de la forme (6).

Pour le démontrer, nous nous appuierons sur un lemme que nous allons d’abord établir.

Soient A1, Ac, +, À, les mineurs relatifs à la dernière ligne horizontale du déterminant À, ce déterminant peut s’écrire

(x) A = A sys) AtyÜr-3) LE Ag), Nous allons montrer que l’on a dA

(B) = 1ÿ40 L Asp) LL A, y),

En effet, le théorème est évident pour n = 2, et s’il est vrai pour n — 1,

il sera vrai pour », car en dérivant les deux membres de l’équation (x), on voit qu’il suffit de prouver que l’on a, me ie soit x, dA> (sd nie US 1) LL. Le in 1) — O0,

Or, si nous admettons que l'équation (B) soit vraie pour n — 1, donc pour chacun des mineurs A;, A2, ..., A», il est clair que le premier membre de cette égalité n’est autre chose que le déterminant À dans lequel on aurait remplacé yf—2), yG—2), .., y(—2) par y@—2), gi), y{r 1), c’est-à-dire zéro.

Cela posé, il s’agit de prouver que st le déterminant À est identiquement nul, il existe entre les intégrales particulières y1, y2, ++: y, une relation de la forme (6).

Comme le théorème est évident pour n — 1, nous montrerons que, s'il est vrai pour n — 1, il est vrai pour n. Il suffit d’ailleurs de prendre n — 3, la démonstration se faisant absolument de même dans le cas général.

Or, À étant nul pour toute valeur de x, au moins dans un certain intervalle, on a aussi identiquement dA : dx — 0, ou, d’après (6),

(?) Ay, + AY, HA;y; = 0.

Nous avons les équations Aya A5y; = 0, AY AY Ayo, Aiyi-A;ys + A:y5= 0» dont les deux premières sont des identités d’après les propriétés des déterminants et la troisième résulte de lhypothèse À — o. Dérivons chacune de ces équations en ayant égard à la suivante et à l'équation (y); il vient

AuYs Asa As; = 0; (@) ae nv Ya + Ao Ye + A5y;

Nous pouvons Le supposer qu'aucun des mineurs A, A2, As, n’est nul quel que soit x, sans quoi, le théorème étant supposé vrai pour n — 1 —2, On aurait des relations de la forme &;y2 — a2Y2 — 0, etc. et la proposition à prouver scrait établie. Or, cette hypothèse admise, on sait par la théorie des équations qu’il résulte du système (9), où À — 0, que les valeurs de A’, A’, A’ sont respectivement proportionnelles à

Y2 Ys Ys Yi | Yi Y2 Joaus VENT Yi Ye

c’est-à-dire que l’on a — — — — — — HS

H étant une certaine fonction de x. On en déduit par l’intégration, 1, 42 + an étant des constantes,

A; — oyefHdx, LV — azefHdx, À; — ase/Hdr,

et en substituant dans l'équation

Aiy: + A2 + Ass ==0; supprimant le facteur e/Hd qui ne peut être nul, on a GAUE + d2y2 + Xs5Y5 — O0; ce qu'il fallait prouver.

De là résulte donc ce théorème : Pour que n intégrales particulières Y15 Y2s +. Yn de l'équation (2), associées sous la forme (3), fournissent l'intégrale générale, il faut et il suffit que ces intégrales ne sotent liées entr'elles par aucune relation de la forme (6).

420. — IV. On peut d’ailleurs s'assurer que l’équation (2) admet toujours x intégrales particulières distinctes, ne renfermant aucune constante arbitraire, satisfaisant à la condition ci-dessus et propres, par suite, à former l’intégrale générale. Car, supposons qu’il soit impossible de trouver plus de & intégrales y:, y2, ... yx sans constante arbitraire qui ne vérifient aucune relation de la forme(6). Toute autre intégrale particulière Y serait donc liée avec les & premières par une équation de la forme

QY — œiyi + Gye + ++ + Yx = 0, @, 1, + æx étant des constantes déterminées, ce qui revient à dire que l'expression &iys Æ 22 + ++ Æ axyx, pour des valeurs arbitraires de &1,%2, x, renferme toutes les solutions de l’équation (2) et en constitue l’intégrale générale y, chose impossible, puisqu'elle ne renferme que k constantes arbitraires.

L'intégrale générale de l’équation (2) est donc bien de la forme (3), et de plus, il ne peut y avoir de solution singulière, car, s’il en existait une, on la choisirait pour l'intégrale y, dans la démonstration précédente, ce qui est permis; on complèterait l'intégrale générale (3) par n — 1 autres intégrales y2, ++ y», et il suffirait, dans celle-ci, de poser C: = 1, C2 — C5 — + —C,; —0, pour faire rentrer la solution y, dans l’intégrale générale. |

421. Propriétés de l'équation avec second membre. — I, Si l’on connaît l'intégrale générale (3) de l'équation sans second membre (2), on peut en déduire celle de l'équation avec second membre (1) par n

quadratures.

Considérons l'intégrale (3) y = Gigi Cayo + + Cons

elle peut représenter l'intégrale générale de l'équation (1) si l’on y remplace les constantes C1, C2, ..., CG, par des fonctions de x convenablement choisies, et l’on peut même disposer arbitrairement de nñn — r de ces indéterminées, car il suffira de déterminer la 2° par la condition que la fonction (3) satisfasse à l'équation (1) et en soit l’intégrale générale. Or, les n — 1 conditions arbitrairement choisies que l’on impose aux n quantités Cu, C:, .… Cn, consistent en ce que les n — 1 premières dérivées de y conservent la même forme que si Ci, C2, .. C, étaient des constantes. On obtient ainsi, pour les n premières dérivées de y,

y —=C,y, + Coye + + + Ciys, UE TE C,y, + C:ye 3: 5 A CyYn »

Shea ee orne" 0e tot te' ae ri ele. lo'tTo Dre Er 8") ee". 02:60

TEE NE a OL Te 0 y) — C CES y{r) él + + Cyy(r) dC,

+ gi0 D y Eee + 7y LT

Substituons ces valeurs de y et de ses dérivées dans l'équation différentielle (1); le multiplicateur de C, après cette substitution sera

YU EX YU Eee EX y, + Xn1Y 4 À Xnÿu

et se réduira à zéro puisque y, est une intégrale de l’équation (2). Il en sera de même des multiplicateurs de C:, .… C,, et l’équation se réduira ainsi à

dC; dCe dC»

(n—1) 7° (n—1) © (—1) —— TERRE TR EL à nan

Telle est l'équation qui exprime que la valeur (3) de y vérifie l’équa-

tion (1). Joignons à cette équation les n — 1 relations auxquelles doivent satisfaire les fonctions C1, C2, .…, C, pour que les n—1

premières dérivées de y aient les formes ci-dessus, nous aurons le système de n équations

dC; .

OR a pr NC 0 GE

AC PIC DE EU UE LAS + y Un = (7) : (E: RAS Vite, +, … +. + y Leo dC> x =?

eo ge

Ces équations sont du premier degré par rapport aux dérivées de Ci, Ca, .. Cr, et seront toujours résolubles par rapport à ces dérivées, car le dénominateur commun des valeurs des inconnues sera précisément le déterminant À, qui ne peut être nul pour des valeurs arbitraires de x puisque, par hypothèse, la formule (3) donne l'intégrale générale de (2). On en tirera donc les valeurs de ces dérivées en fonction explicite de x (car y1, ya, .… y, Sont censés connus), et l’on aura

dC; dC: dCx Fra (x), pe ii (x), PLU dx cn? (x),

d’où, par quadratures,

Ci Hi fqi(x) dx, Cs — Hi + foo(x) dx, Cn = H, + fou(x) dx, H;, H2, … H, étant les constantes arbitraires introduites par ces quadratures. Ces valeurs de C:;, C2, .. C, substituées dans la formule (3) donneront l'intégrale générale de l'équation (1) avec n constantes arbitaires, savoir

(8) y= y Hi fo(o) de] +ys[He + fqa(o) de] + + y CHi + fqu(a)

Cette méthode pour déduire l'intégrale de l’équation (1) de celle h l'équation (2) est due à Lagrange et s s'appelle la méthode de la variation des constantes arbitraires.

48%. II. — Si Y est une intégrale particulière de l'équation complète (1), y l'intégrale générale de l'équation sans second membre, Y + y sera l'intégrale générale de l'équation (x).

En effet, on peut toujours représenter l'intégrale générale de l’équa-

tion (1) par Ÿ + z, sauf à déterminer convenablement la fonction z,. Substituant à y la valeur Y + z dans Me (1),ona

d'Y d'-1Y d"oiz

La TA Fee ea ——— + + X, + HA ie) x

Mais, par supposition, YŸ est une intégrale particulière de l'équation (x), ce qui réduit la formule précédente à

d'z d"—!z (9) das Ai aise + Xnt = 0.

Ainsi, la fonction z qui, ajoutée à Y, donne l'intégrale générale de l'équation avec second membre, n’est autre que la solution la plus générale de l’équation (9), c’est-à-dire de l’équation (2); c’est donc l'intégrale complète de celle-ci.

Si donc on sait, par quelque moyen, trouver une intégrale particulière de l’équation (1) le problème de son intégration générale sera ramené à celui de l'intégration de l’équation sans second membre.

423. — LIT. Si l’on connaît une intégrale particulière y de l'équation sans second membre (2), on abaïssera d'une unité l'ordre de l'équation (x) ou (2), sans qu’elle cesse d'être linéaire.

Soit y — y1z l'intégrale générale de l'équation (1), qui renferme (2) en y faisant X — 0; il faut déterminer z. On a

3 72 de d'y , dy D PAL d de de “dr dx + ne

d'y ,Ÿ Yi dz d"—ty; d'z dx Fax" Are dz dx"! sMbmR de"

Substituons ces valeurs de y et de ses dérivées dans l’équation (1) somme des termes affectés du facteur z sera nulle, par la supposition que y, soit une intégrale de l'équation (2). L’équation (1) donnera donc, en z, une équation de la forme

d'z AN Qu dz HamtPamt lrig 2

P, .…, S étant des fonctions connues de x. Posant

——u, d'où 2z—=C+ f[udx,

et divisant toute l'équation par 7:, on aura une équation d’ordre ñn — 1 par rapport à w, savoir ai , du

(10) + P FRET A à + S'u — X/, P’,...,S’, X’ étant les quotients de P, .…., S, X par y1. Le théorème est donc démontré.

On voit aussi par là que lintégrale générale de l'équation (2) est nécessairement de la forme

y = Ciyi + Csye + de + CrYns Y13 Y2s «es Yn désignant des intégrales particulières de cette équation. Admettons, en effet, que le théorème soit démontré pour une équation sans second membre de l’ordre n — 1. D'après ce qui précède, y: étant une intégrale de l’équation (2) qui est de l’ordre n, l'intégrale générale de celle-ci sera y = y1(C + [u dx), u étant déterminé par l’équation (10) dans laquelle X’ devra être remplacé par zéro, puisque X — o. Mais, par hypothèse, on a u = Cu + Coua + ee HE Ci iunr, Cis C2, .. Cn-1 étant des constantes; w1, u2, ... u,1 des intégrales particulières de (10). Donc l'intégrale générale de (2) est y = Cyi + Cigs Suidx + Coys Suxdæ + + + CG iy fus 1dx.

Or, on voit immédiatement que yifwidx, ysfu:dx,... sont des intégrales particulières de l'équation (2). Donc, le théorème supposé vrai pour une équation d'ordre n — 1 subsiste pour une équation d’ordre n. D'ailleurs, il est vrai pour une équation du premier ordre, ou de la forme

comme il résulte évidemment de l'intégrale (0) du N° 468, où l’on devra faire X1 = 0.