K 9. ÉQUATIONS LINÉAIRES A COEFFICIENTS CONSTANTS
4®%4. Quand les coefficients X;, X2, .. X, de l’équation linéaire sans second membre se réduisent à des constantes he A2, +. Any l'équation
di CT (1) Tes x"! De + An É LL ay — 0
s'intègre comme il suit. Cherchons une intégrale particulière de la forme y—e"*, r étant une constante à déterminer. Substituons cette valeur de y dans le premier membre de (1), en observant que
drer*
doc?
== Tree;
nous aurons d'er: d'- Lerz der:
LD Premiere ee Ce CL ee CO CE
si nous posons, pour abréger,
(3) f(r)= 8 + ar ee an ir + an.
Donc, pour que l'équation (1) soit vérifiée par la valeur y — e"”, il faut et il suffit que le second membre de l'équation (2), ou que f(r), soit nul, c’est-à-dire que r soit une des racines de l'équation f(r) — o. Cette équation, que nous appellerons l’équation auxiliaire, est de degré n, elle admet donc n racines ri, r2, ...r,, que nous supposerons d’abord réelles et inégales. Ainsi e"1*, e"2*, ... en“ seront des intégrales particulières de l’équation (1), et elles seront propres à donner l'intégrale générale par la formule (3) du S 2, car si l’on forme ici le déterminant A de ce paragraphe, on trouve
A —= er? e"27 ..… en? r° ré Fe Th
ni pi, pi A Re
et l’on sait(1) que ce déterminant ne saurait être égal à zéro si ri, ro, r, Sont inégaux. Ainsi, l'intégrale générale de l’équation (1) sera
(4) y = Cuers LE Cuer2s + Cuernr,
423. Supposons maintenant que l’équation f(r) = 0 admctte des racines imaginaires. On pourra encore considérer, r, étant une telle racine, e’1* comme une intégrale de l’équation (1), car la seule propriété de la fonction e'* dont nous ayons fait usage pour prouver qu’elle vérifie l'équation (1) si r est une racine de l'équation auxiliaire, c’est que.
(1) Bazrzer, Théorie des déterminants, $ XII,
Dre: est égal à r’e*, ct cette propriété subsiste si r est imaginaire, comme on l’a vu au n° 26%. Il est même permis d'attribuer à la constante C, une valeur imaginaire, cela ne change rien au résultat. Ainsi l'intégrale générale (4) subsisterait. Mais il vaut mieux lui restituer la forme réelle, et pour cela, nous observerons que l'équation f(r) — 0 a ses racines imaginaires conjugutes deux à deux, en sorte que si l'on pose
ri—œa—+fi, onaura r:— a — fr,
Cuerie HE Cier2r = 6% (Ciefrt L Cie Fri)
— 4% [(C; Æ C2) cos x + (C1 — C2) à sin Bx],
ou, si on fait C1 + Co — A, (C: — C)i—B, (5) Cieri + Cser2r — ex (A cos x + B sin Bx), et l’on peut regarder A et B comme des constantes arbitraires réelles. Ainsi les termes de l'intégrale générale (4) qui correspondent à deux racines imaginaires conjuguées seront remplacés par deux termes réels, donnés par la relation (5).
426. Supposons que l’équation auxiliaire ait deux racines réelles égales, ri — +. Les deux intégrales e1*, e"2* se confondant dans la formule (4), les constantes C; et C: se réduisent à une seule, et cette formule ne peut plus donner l'intégrale générale. D'ailleurs, le déterminant À s’annule comme ayant deux colonnes égales. Mais on obtient une nouvelle intégrale particulière en observant que l'équation (2) est une identité qui subsiste quelque valeur qu'on attribue à la constante r, et que, si l’on dérive les deux membres par rapport à r, on en déduira une nouvelle identité. pa ios on sait que l’on a
drerz der® =, x?
donc on trouvera
d'.xerz d”- —1 .xerz L
Ter nn en 7 Mais puisque, par l'hypothèse, r, est une racine double de l’équation f(r) = 0, f(r) et f'(r:) sont nuls, le premier membre s’annule done
pour r = T1, Ce qui montre que xe'i* est une intégrale particulière de l'équation (1). On aura donc, pour intégrale générale
(6) Vie (Ci + Cex)erix —|- Cest + AS —- Cernc.
Un raisonnement semblable ferait voir que, si r, est une racine triple de l'équation f(r) — 0, ce qui donne f(r;) = 0, f’(r1) = 0, f'(r1) — 0, xte"1# est encore une intégrale de l’équation (1), et l'intégrale générale est
y —= (Ci + Cox + Csx?) er1® HE Cierne, et ainsi de suite.
La même méthode s'applique aux racines imaginaires multiples. Ainsi,
si « +- ft est une racine double, de même que «x — fr, les termes correspondants dans l’intégrale générale seront
(7) er [(Ai + Asx) cos Êx + (B: - Bex) sin Gx], A1, A2, B:, B2 étant des constantes arbitraires. 42%. Passons à l’équation avec second membre. Si elle se réduit à la forme :
d'y dx" ?
les coefficients a, 42, ... a, étant nuls, l'intégrale de l'équation sans second membre y” — o sera
Y=—= C: + Cix + C5? + .… + Cr, et il suffit de lui ajouter l'intégrale particulière de l'équation complète qu’on obtient en effectuant n quadratures successives sur la fonction X,
sans introduire de constantes arbitraires; on a donc, pour l'intégrale cherchée,
y = Ci + Cox + ce + CnaTt LE [ax [dx … (Xdx. Soit, en général, l’équation d'y dy dy (8) Re nero Han Ty = X.
dx"!
Si X — a est une constante, il suffit de poser a,y — a — a,z, l'équation en z sera linéaire sans second membre, son intégrale s’obtiendra par les règles ci-dessus, et l’on aura celle de l’équation (8) par la formule
22e Me CORRE T
Si X est fonction de x, on appliquera la méthode de la variation des constantes (424). Les racines de l’équation auxiliaire f (r) — o étant, je suppose, réelles et inégales, en sorte que l’équation sans second membre
ait pour intégrale générale (4), le système des équations (7) du n° 481 deviendra ici, en posant généralement
eri L'AUR
dx ?
Ut uote ur —=0, Tiu: + ŒUE —- 14 Te ==0;
ru — re + . run —O, nus rue + ee Horus = On sait, par les éléments d’Algèbre, que ce système donne pour l’inconnue u; la valeur X X UN Re no mor ?
(ri: . r1) … (ri — Ti-1) (r; ae riu1) … (ri are rh) { (Ti) et l’on a, par conséquent, dC: I
dx f'(r)
Intégrant et mettant en évidence la constante arbitraire H;, on trouve
