Considérons encore les nt de la forme

En posant toujours y” — ee nous aurons

dp dE - ï — fu), 2pdp — 2{(y) dy;

d’où p?— 2 | f{y) dy + C.

De là on tire successivement

d = +2 (fu dy, ee RUN Gare à /C + 2 [ fy) dy dy VC + 2 [ fy) dy Ainsi, dans ce cas, le problème dépend de deux quadratures. On ramènerait à ce cas celui d’une équation

d'y d"?y de je)

et enfin

ë= Gi + |

— D06 — 482 Jacobi a montré que, si une équation du second ordre de la forme d?y (1) AL f(x; y)

peut être abaissée au premier orde par une intégration, soit

(2) d p (x, VE C),

l'intégration s’achèvera par quadrature, parce que l’on aura 9g

(3) sc Y — pdx) — d. P(x/x; 0)

En effet, différentions (2) et remplacons, dans le second membre, dy : dx par sa valeur (2); il viendra CYR OCR dx? ox ° Oy!

et comme cette équation doit s’accorder avec l'équation (1), on a 09, 9P (4) + on fes)

Toute fonction y de x qui satisfait à l’équation (1) doit donc satisfaire

à celle-ci, indépendamment de toute valeur particulière de x et de C.

Mais il suit de là que cette équation (4) est une pure identité entre x,

y et C, sans quoi elle serait l'intégrale générale de l’équation (1), ce qui

est impossible, vu qu’elle ne renferme qu’une constante arbitraire C au

plus. Si l’on dérive cette identité (4) par rapport à C, on aura donc, abstraction faite de toute relation entre x et y,

CÉPRe nor 0 dg |

oc DE x OC dy “2 |

0 0 { dv ee

ce qui est (403) la condition ne et suffisante pour que l'expression

6) de — d c — {js

soit une différentielle exacte. LEE (3) étant démontrée, l’équation (2) sera rendue immédiatement intégrable par la multiplication par le facteur œc (x, y, C).

433. Equations homogènes. — Lorsqu'une équation du second ordre, multipliée par dzx?, devient homogène par rapport aux quantités x, y, dx, dy, d'y, considérées comme autant de variables, on pose (5) Y—ux, dy pdrx, dy = quant?

et y, dy, d?y étant ainsi remplacés par des facteurs du premier degré en x, dx, l'équation transformée sera homogène par rapport à ces dernières quantités. Mais l’indéterminée dx doit avoir disparu de l’équation; x disparaîtra donc en même temps, et l’on aura entre u, p, q seulement une relation que nous supposerons mise sous la forme

4) q = fu, p).

Ainsi l'équation dy dy SR 2 dy — x __ + AS re OMR OUR T d'y — xdxdy — nydx? = 0

satisfait à la condition supposée. La substitution indiquée donnera

]j—p—nu—o où q—p+nu, ce qui rentre dans l’égalité (6). Mais, des deux premières équations (5)

on tire dx du dy = pdx — udx + xdu, ou (7) EE US et de la troisième dy __dp q à dx dp.

dx? dx x TOR TE

donc, en égalant ces valeurs de dx : x et mettant pour q la valeur (6), d d (8) = f(u;p) p—u Cette équation entre p et w est du premier ordre; on saura l'intégrer si elle rentre dans l’un des cas étudiés au chapitre XL, et l’on en tirera DOUCE const.) L'équation (7) deviendra, par substitution de la valeur de p, dx du du ———————\, d'où 1.x+ECi = |, æ qu, C)—u pe et oo

et en substituant à w sa valeur y:2x après l’intégralion, on aura la solution du problème.

Ainsi, dans l'exemple ci-dessus, on a pour l'équation (8) dp du pnu p—u

ou encore

» Où (p—u) dp — (p + nu) du — 0,

pdp — nudu — (udp + pdu) — 0.

Cette équation s’intègre immédiatement; on a

p? — nu? — 2pu —C, p=u+yC+MTEiu, et en substituant dans l’équation (7), dx ki du

Ÿ +p/C+(nLiu!

Intégrant de nouveau et ayant égard à la relation u—y:x, on trouvera enfin

Y= x (Ce MN Cr:

434. Si une équation d’ordre n est homogène par rapport à y, y’,

.…. y%, on abaiïssera son ordre d’une unité en posant

y'—=uy, d'où y” = yu Huy —y(u +u?), ete.

y disparaîtra comme facteur à tous les termes, et l'équation entre w et x sera de l’ordre n — 1.

433. Intégration par les séries. — Lorsqu'on ne sait pas intégrer une équation différentielle rigoureusement, on calcule par approximation la fonction intégrale y, soit par une méthode qui sera développée plus loin, soit par le développement en série. On se sert pour cela du théorème de Taylor, lorsque l’équation différentielle vérifie certaines conditions dans une région déterminée par rapport à æ et à y. Mais si la fonction y n’est pas développable suivant les puissances entières, positives et croissantes de x, ou de æ — %o, la formule de Taylor ne pourra s'appliquer, c’est pourquoi nous indiquerons la méthode des coefficients indéterminés, qui est plus générale.

Supposons que l’équation différentielle soit ramenée à un polynôme rationnel et entier par rapport à y et à ses dérivées y”, y”, …, égalé à zéro; cherchons à vérifier l'équation par une expression de la forme (0) y — Axt — Bxf + Ca? Dar +,

&, B, y, 9, .. étant des exposants constants tels que l’on ait « <B < y < 9; A, B, C, D, ….. des coefficients constants à déterminer. Admet-

at te te. és d'ed— t”

tant que l’on puisse, au moins dans un intervalle (a, b) de la variable x, dériver cette expression (9) par la règle du n° 824, une ou plusieurs fois suivant l’ordre de l’équation donnée, on obtiendra les valeurs de y’, y’, .… en séries convergentes dans l'intervalle (a, b); on les substituera, ainsi que la valeur (9) de y dans léquation différentielle, et, en appliquant, s’il y a lieu, la règle du n° 4%, ce qui suppose que les séries soient absolument convergentes, on transformera le premier membre de l'équation donnée en une seule série ordonnée suivant des puissances croissantes de x. Comme x reste variable dans l’intervalle (a, 6), l'équation ne pourra être vérifiée que si les coefficients des diverses puissances de x sont nuls séparément, et l’on déduira de là une suite de conditions qui serviront à déduire les uns des autres les exposants à, G, y, d, … et les coefficients A, B, C, D, … Ceux qui resteront indéterminés fourniront les constantes arbitraires de l’intégrale.

On devra vérifier, après cette détermination, si les séries satisfont bien aux conditions que l’on a supposées en les combinant de la manière indiquée.