Appliquons cette méthode à l'équation linéaire

dy (10) IL

dite Équation de Bessel. On aura, d’après l'équation (0),

ce —= Act! — BBxf ti LE Cyatt LE Domi! HR

m dy x dx

+ ny —= 0,

Palo 3 BA —-1)28 8 C7 — 17 DD pad,

et en substituant dans l’équation (10) et groupant les termes affectés d’un même coefficient, on trouvera

ALa(m + a — 1)2% Ent] + B[B(m +6 — 1)28-* + no] + CLy(m + y — 1)27 2 Enx/] + D[d(m +0 — 1)29—2 Lena)... —0o L'exposant « — 2 étant moindre que tous les suivants, on devra poser a(m + x — 1) — 0, d’où résultent deux hypothèses : 19&—=0; 2° a — I — M.

Adoptant d’abord la première, observant que le terme en x* ne peut être nul et doit être détruit par l’un des suivants, on est amené à poser

x—=fB—2, etdemême B—y—2, y—0—2, …

d’où résultent les valeurs &— 0, =) 4 06) Les coefficients devront, en outre, satisfaire aux relations An B£(m+f6—1)=o, SET TRES 1) = 0, Cn +- Dd(m + 0 — 1) — 0

d’où nous tirerons An An°

Tamer Tam tomes) An RÉPCENICENNCE

et enfin l'équation (9) deviendra

nx° n°x!

SL TE DETTE CS 25 n5x 2.4.6.(m + 1)(m—+ 3) (m + ae || la constante À restant arbitraire.

Si l’on adopte pour « la seconde valeur 1 — m, et que les mêmes relations subsistent entre les exposants &, f, 7, .… etentre les coefficients A, B, C, .…, on en déduira les valeurs suivantes :

a—1—mM, P—3—m, y=5—m, d—=7—m,… Php MAN QE ASE RE

2(m—3) 2.4(m—3)(m—5) 2.4.6(m— 3)(m— 5) (m—7) et on aura une seconde intégrale de l'équation (10), savoir, en désignant par A, une constante différente de A,

LP sn =.

Chacune des intégrales (11) et (12), rie renfermant qu’une constante

arbitraire, n’est qu’une intégrale particulière de l’équation (10). Mais

(12) y = Aix” L: #5

celle-ci est linéaire sans second membre; la somme des intégrales (11) et (12) donnera donc l'intégrale générale.

0 , . Q Q . ,e (A Q Si l’on suppose que m ne soit pas un nombre impair positif ou négatif,

le rapport du terme de rang p + 1 au précédent sera, dans les séries (11) et (12) respectivement, nx° nx?

nn CORRE PE NE SE à 2p(m+2p—1) 2p(2p—1—m)

et aura pour limite zéro lorsque p croitra indéfiniment, quelque valeur qu’on attribue à x. Les séries entre crochets (11) et (12) seront donc absolument convergentes et équiconvergentes dans toute intervalle. On verra qu’il en est de même de celles qu’on obtient par dérivation. Toutes les conditions de la démonstration sont remplies, la solution est donc vérifiée a posteriori.

Si m est impair et positif, la formule (12) a tous ses termes infinis à partir d’un certain rang et ne peut plus servir. De même pour l'intégrale (11) sim est impair négatif. Dans ces cas là on ne possède plus qu’une intégrale particulière y, de l’équation de Bessel. On en déduira l’intégrale générale par la méthode indiquée au n° 428, qui conduira ici à l'équation linéaire du premier ordre

(Ha) no,

ae ne ux"y; —= const. — C,

d’où

et par suite

y = + of Ge Le + 6

Si, en particulier, on a m — 1, l’équation de Bessel se réduit à TRUE ny = 0,

et admet l'intégrale particulière

I dy x dx

n°x° HUE CEE 42 | 22.4! TPE AN ) Si l’on suppose n — 2, les séries (11) et (12) deviennent

Ar + QE —) A1 = Eee …) 2.3 2.3.4.5 z .2 1.2.3:4

et représentent respectivement les fonctions Asinxp/n A, cos xJ/n xp/n en dont la somme fournira en conséquence l’intégrale générale. Exercices.

Équations ne renfermant pas y (429) :

dy , 1 dy DD, .y=Cl. C;.

Per pris DEEE GER d? dy®\5 2—C)d 2 a T2 FU eE 0 y 0 LE ( jé dx dx V/ a’ 2. (x? au C}° dy* \ d'y y au RS AVE 3 (+ ae Pure C 2n2 (: 2a°p° R. HAPRLES TRS ed Pi Se 2 JV/3Cp — a?p°

Équations ne renfermant que deux dérivées consécutives (429) : 2 « 4. ne (à + %us —= O0. R. (æœ — CP + (y — C,)? = ai.

2 2 PRE EU OU AN CN D dx?

dx? dx a d'y dfy \2 a (x — C} Gé. =" — 1} "0)4 By = Vs 2 ; RE ) ER. y 3.425 + Cix° + Cox + Co Équations de la forme y” — f(y) (434).