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la série est convergente pour x — 1 sim est > 0. — La série de Gauss af G@+1)8(B+1), pt RS ee
dans laquelle y n’est pas supposé un nombre entier négatif, donne
ANNEES Le («+») (6 + n) ns
un. (+) (G+n) La limite de ce rapport pour n — © est x, la série est convergente ou divergente suivant que æ est <1 ou >1. Si x— 1, on applique la règle IX, On a
{Lea Pitt )n+y— af Un G+n)(y +2) dont la limite est y — x — (5 + 1. La série est convergente ou divergente suivant que y est plus grand ou plus petit que « + f£.
39. Le théorème suivant, dû à Abeï, peut aussi servir à décider de la convergence d’une série :
X. La série (x) étant à termes positifs, posons 6, —=u0—us +... Lu. La série (1) et la série
CR SR me
Ch
seront ensemble ere ou divergentes.
Si la série (1) est convergente, o, croit avec n sans pouvoir surpasser une valeur fixe, 1 : o, décroit donc constamment, et la convergence de la série (y) est une conséquence du théorème IV.
Si la série (1) est divergente, on a, à cause des relations
On <a On+1 < Tn+2 < 0) Un+1 h Es Hatp ss Un Le Un+1 A+ + + Untp :
Gn En+1 Fn+p
Cette dernière fraction peut s’écrire Un Una He Untp —1:|1+ LE on À Un Ungi tee + Untp Un Unga ce np La série (1) étant divergente, si l’on attribue à n et par suite à c,, une
valeur fixe, on peut faire p assez grand pour que l’expression
Un + Un —+ so + Un+p
