INTÉGRATION DES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES SIMULTANÉES
48%. Soient x, y,z, .….;u,n fonctions d’une même variable indépen* dante {, que nous supposons définies par un système de nr équations différentielles du premier ordre, de la forme
rl EEE SOA
d (1) = fa (a, Ys so U, t);
du ein RU EEE (>
On appelle intégrales générales de ce système d’équations, tout système de valeurs de x, y, z, ... u qui vérifie les équations (1) quel que soit #,
et qui renferme n constantes arbitraires permettant d'attribuer à x, y, z, 4, pour une valeur donnée {, de ft, des valeurs données arbitrairement Æ,, Yos +. U9. Les intégrales qui s’en déduisent en donnant aux # constantes des valeurs particulières se nomment des intégrales particulières.
Il sera démontré plus loin que, si les fonctions fi, f:, .… f, satisfont, dans une région donnée des variables, à des conditions que nous préciserons, les équations (1) admettront toujours un système d'intégrales générales, et que toutes les intégrales rentreront dans ce système comme intégrales particulières. Mais si ces conditions cessent d’être vérifiées dans une région donnée, les équations (1) peuvent admettre des intégrales ne rentrant pas dans les intégrales générales, ou des solutions singulières.
La méthode servant à établir l'existence de ces fonctions x, y, z, ... u, qui vérifient le système (1), permet aussi d'en calculer les valeurs avec autant d’approximation qu'on le veut, pour une valeur donnée de la variable t.
488. L'intégration du système d'équations (1) se ramène aussi à celle d’une équation différentielle d’ordre n de la manière suivante :
Différentions complètement par rapport à { les deux membres de la première équation, ce qui donnera
da of. fix | ofidy | of.dz of. du dt 0 MATE LE En PEU LE arabe rote dt”
æt substituons dans le second membre, aux dérivées y’, z’, .. uw’, leurs valeurs fournies par le système (1). Ce second membre deviendra ainsi une fonction explicite de x, y, z, … u, t, et de x’, soit
d?x dx (2) pren A NTI AD Co :).
Prenant encore les dérivées par rapport à t et remplaçant y”, z', ... u’ par leurs valeurs (1), on aura
dx drdix (3) PT RL RO ATe AAA) 0 CD ; et ainsi de suite, jusqu’à l’ordre n, ou à l’équation
d'x dx dr PTE VES NAT .…o di 9 Ys Zs ee Us ):
Les n — 1 équations ainsi obtenues et la première équation (1) forment un système de x équations entre lesquelles nous supposons que l’on sache éliminer les n — 1 inconnues y, z, .. u, dont les dérivées n’y figurent pas, et le résultat sera une équation de la forme
d'x dx dar (4) CE |
c’est-à-dire une équation d’ordre n entre la fonction x et la variable £. Cette équation servira à déterminer la fonction x par les méthodes exposées ci-dessus; admettons qu’on en obtienne l'intégrale générale avec n constantes arbitraires C1, C2, … GC. Substituant les valeurs de x et de ses n — 1 premières dérivées dans les équations
dx dx dix DCE ann qe not
qui ont servi à l'élimination, on aura n — 1 équations qui donneront, sans intégration nouvelle, les valeurs de y, z, ... u en fonction de t et des mêmes constantes arbitraires.
439. Lorsque le système (1) sera composé d’équations linéaires par rapport aux fonctions x, y, z, ..… u, les équations qu’on en déduira par des différentiations successives seront encore linéaires par rapport à ces variables et à leurs dérivées relatives à t; l'élimination des dérivées de y, z, … uw à chaque opération, ayant lieu au moyen des équations linéaires (1), n’altèrera pas ce caractère, et l'équation finale (4) jouira encore de la propriété d’être une équation linéaire de l’ordre n. Si, de plus, dans les équations (1), les coefficients de x, y, z, ... w sont constants, l’équation (4) sera aussi à coefficients constants, et l’on pourra
appliquer les méthodes du Ch. XLII, $ 3. Considérons, par exemple, le système
dx Darty 7i— ge,
d au + 5y = qui — 31.
Dérivant la première et remplaçant dy : dt par sa valeur tirée de la seconde, on trouve dx dx Er ei ES it
Eliminant y entre cette équation et la première, on a
d? d CR TE 60 = 7 + 381 — 580.
On intègre d’abord l’équation sans second membre ; l’équation auxiliaire r? LL 7r + 6 — o donne les racines réelles r, — — 1, r: — —6, d’où l'intégrale générale
TS UICIÉ + C2e7 6,
Pour trouver une intégrale particulière de l'équation (x), nous poserons x — a + ft + ye', et en substituant, égalant respectivement les termes constants, les coefficients de ? et de e‘ dans les deux membres, nous
trouverons 6 I le A — 3° , = 19 , == — 29 9 9 3 7 done, d’après un théorème connu, l’intégrale générale de l’équation (x) sera : ele à 71) x = Cet H Ce — — Li —— ei, 2 à 3 7
Substituant cette valeur de x et celle de sa dérivée dans la première des équations données, on obtiendra la valeur de y,
y = — Cet + 4Cuet + Rae et.
Si l'équation auxiliaire admettait des racines imaginaires ou des racines égales, on suivrait la marche tracée au chapitre XLIT.
440. Lorsqu'on cherche de cette manière à intégrer un système d’équations tel que le système (1), on est généralement conduit, comme nous l’avons vu, à une équation différentielle de l’ordre n entre deux variables æ et t; mais il peut arriver exceptionnellement qu’elle soit d’ordre
inférieur à n. Si, par exemple, n — 2 diflérentiations successives sur l'équation
nil (TU)
suffisaient pour éliminer toutes les fonctions inconnues, sauf x, l'équation finale serait de l’ordre n — 1, et son intégrale ne renfermerait que n— 1 constantes arbitraires. Néanmoins, les intégrales générales du
système devront en renfermer n, car il faut remarquer que, n’ayant plus actuellement que 7 — 2 équations pour en tirer les valeurs des # — 1 variables y, z, ... u, en fonction de t et des n — 1 constantes, il sera nécessaire d'intégrer encore une équation du premier ordre, ce qui introduira une n°” constante arbitraire. Ainsi, le système
| dy | dt JE: dt fa dt LA donne immédiatement
dx dx
de F4 a — ur R AT EETÉ équation du second ordre en x dont l'intégrale générale est x —C; + Cet, d’où LE (pes dt Combinant la première et la deuxième des équations données, on aura tre Caet RE PS Se EU + 2Czet — y, et en intégrant cette équation du premier ordre en y, y = Ci + Cet + Cset, z = — Ci — Cet.
441. Il existe, pour l'intégration du système (1) quand les équations sont linéaires et à coeflicients variables, une méthode qui s'applique
toujours aux équations à coefficients constants. Prenons un système de deux équations
d d (5) Par Qy=Ti, SE Par + Qy = To,
Pi, Pe, Qu, Q2, T1, T2 étant des fonctions explicites de t seul. Multiplions la seconde par un facteur indéterminé À, et ajoutons-les; il viendra
dx à 4 dt
et si nous posons
dÀ V=—x<+ y, — nt Qi +0: — À(P: + AP2),
TA (Pi + APs)æ + (Qi + Q2)y = Ti + ÂTe,
cette équation prendra la forme
(6) + (P: —- ÀP:) V — —= T'; —- AT:
Cette équation sera linéaire du premier ordre en V et son intégrale générale sera
(TAN E ) — ehPatAPaldt [C + Î (Ti + T2) e/P1HP2)dé qi],
si l’on parvient à déterminer À en fonction de t par l'équation posée ci-dessus,
(8) D pa + (P. 0) 00
On ne sait pas intégrer en général l'équation (8), mais il est des cas particuliers où l’on en tire parti : 4° Si P;, P:, Q:, Q: sont des constantes comme au n° 489, on posera
dÀ FRE P:4° + (P: — Q:)1—Q,; —=O;
À sera une constante déterminée par la seconde équation; elle admettra deux valeurs À; et À: que nous supposerons réelles et inégales, et qui, mises successivement dans l’équation (7) avec des valeurs correspondantes C; et C: de la constante arbitraire C, nous donneront deux équations du premier degré pour déterminer x et y.
2° Posons séparément, dans l’équation (8),
dÀ
di
si les valeurs de À tirées de ces équations s'accordent, elles vérifieront l'équation (8) et l’intégrale (7) subsistera. On en déduit respectivement, « étant unc constante arbitraire,
À — aefQ2-Pidt, }2 — Q: s P:
ce qui donne la condition
— — a?e2Q2—P1 dt,
Si donc, en déterminant convenablement la constante «, les fonctions P;, Q:, …… vérifient cette équation, on pourra poser dans l’équation (7) successivement
et l’on aura deux équations pour x et y comme ci-dessus.
3° On pourrait de même déterminer À par les égalités
= — Qi =—0, PA + (Pi — Q:) — 0
si les coefficients de l’équation satisfaisaient à une relation de la forme Q2— P:
mais on n’aurait ainsi qu’une intégrale.
44%, Lorsque le système (1) n’est pas linéaire, il est rare que Ja méthode du n° 438 conduise à une équation finale intégrable; mais l’introduction d’une variable auxiliaire permet quelquefois de rendre linéaire un système qui ne l’est pas. Ainsi le système.
dx dy dz
ax Eby+etd wzEbytozEd ax b'ytcz+d"" dans lequel a, b, ... sont des constantes, devient linéaire en égalant ces rapports à la différentielle df d’une variable auxiliaire.
On a ainsi le système linéaire, à coefficients constants,
= a+ by + ez +1, D a+ CCE ss ATOUT AG
que l’on intègrera facilement, après quoi l’élimination de t conduira à deux équations entre x, y, etz.
La forme particulière des équations à traiter suggère d’autres artifices élégants, mais pour lesquels on ne peut tracer de règle générale.
44%. Équations simultanées d'ordre quelconque. — Un système d'équations différentielles d'ordre quelconque se ramène à un système d’équations du premier ordre. Concevons, pour fixer les idées, que l’on ait désigné par x’, x”, .…, y’, y”’, les dérivées successives de x et de y par rapport à #, et que l’on ait deux équations de la forme
(5) a''=fi(x,y,æ,y,y",t), y"=fi(x,y,x';y,y",t),
c’est-à-dire dans lesquelles la dérivée seconde de x et la dérivée troisième de y soient exprimées en fonction des dérivées d’ordre inférieur. On peut remarquer que ce système est réductible au système d'équations
du premier ordre entre f et cinq fonctions x, x’, y, y’, y”,
dax ; di , dy’ r/ dx RE Sr moe pe Co d [44 " ee (TU DU S UE
Ce système, analogue au système (1), admettra des intégrales générales renfermant cinq constantes arbitraires.
Si l'on avait un système de trois équations du second ordre, de la forme
dx d?y d?
Z ah G@ 3, Z; t), ne — 28 gs 2); pc het LA UE Di t),
on le réduirait au système de six équations du premier ordre,
dx LU RE dz , REP Ti OU Fr mi dx’ dy dz' an = {ie y, 2 1), RPG y 20, =).
L'intégration de ce système et l'élimination des variables auxiliaires z', y’, z! conduira entre x, y, z et, à un système d’intégrales comprenant six constantes arbitraires.
En général, si le nombre des fonctions inconnues #, y, z .… est k, si les ordres des dérivées les plus élevées sont respectivement / pour x, m pour y, n pour z, …, si enfin les équations données sont supposées résolues par rapport à ces dérivées de l’ordre le plus élevé, elles seront réductibles à un système de { + m + n +... équations du premier ordre, et l’on voit par là que le système de leurs intégrales générales renfermera { Æ m + n +... constantes arbitraires.
444. La méthode indiquée au n° 488, pour ramener à l'intégration d’une équation différentielle entre deux variables l'intégration d’un système d’équation du premier ordre, s’applique également à un système d’équations d'ordre plus élevé. En différentiant l’une de ces équations un nombre suffisant de fois et $e servant des équations ainsi formées et des équations données pour éliminer les fonctions y, z, ... u et leurs dérivées successives par rapport à t, on arrivera à une équation finale entre x et t{, dont l’ordre sera, dans le cas général posé plus haut, [+ m+}n<+.... L'intégration de cette équation donnera x avec LH m + n +... constantes, et le système qui a servi à Pélimination
> om mt lc affa Dent ét ét dd ÉNS NSS S
fera connaître les autres fonctions inconnues sans nouvelle intégration. Soient, comme exemple, les équations linéaires à coefficients constants dx dy cm eme LL me CO SR LOL ISIN 6 pme Dérivant la première deux fois de suite par rapport à #, remplaçant dy : dx? par sa valeur tirée de la seconde on trouve
dx dx es 48 4y + 20— 0, | et par l'élimination de y entre cette équation et la premiére, di dx AT STATE —= O.
L'intégration de cette équation par la méthode connue conduit à æ —= (Ci + Cet) ef + (Cs + Cut) et — 23, et la substitution de cette valeur dans la première équation donnée, à 2y = (C2 — Ci — Cot) et — (Cs + C; + Cut) et — 36. On peut aussi, après avoir ramené les deux équations données à un système d'équations du premier ordre, appliquer la méthode proposée au n° 441.
44%. Dans toute cette théorie, on a supposé les équations différentielles résolues par rapport aux plus hautes dérivées des diverses fonctions x, y, .… u respectivement, et les conséquences obtenues ne s'appliquent exactement qu’à cette hypothèse. Si elle n’était pas réalisée dans le système proposé, il faudrait commencer par opérer la résolution par rapport à ces dérivées, après quoi on appliquerait les méthodes ci-dessus. Mais il faut remarquer 1° que cette résolution peut conduire, pour ces dérivées, à des expressions de forme multiple, auquel cas on aura plusieurs systèmes d'équations différentielles à étudier séparément; 2° que cette résolution ne sera pas toujours possible, soit parce que les équations données sont incompatibles, auquel cas le problème est impossible, soit parce que l'élimination de certaines dérivées pourrait en faire disparaître d’autres en même temps. Si l’on arrivait ainsi à une ou plusieurs équations ne renfermant plus aucune dérivée, mais seulement les variables x, y, z, ...u,t, on devrait considérer le système donné comme un système mixte d'équations différentielles et d'équations ordinaires, et le nombre des constantes arbitraires des intégrales géné-
rales ne serait plus égal à celui que nous avons trouvé dans l'hypothèse normale.
Exercices.
d. d 2 + Se + y = 7e — 27, 2x + 3y — 12 — get.
dt R. eu Pet + et (Ci cos + Ca sin) y = s et — et T(C, + Ce) cos { — (C, — C2) sin{]. 17211413
Ï d 2. Sy = 7e — 96*', a+ 3y = 48" — get.
49 qu,
4 LPS R. x — (C, + Cite RS 36
y = — (Ci CG LCu)erit FR ds HIER dy ‘ds a(y+3) Ba 7@+y) R. Egalant ces rapports à dt, on trouve æ, = Cerit + Cer2t + Cses!, Ta T2, rs étant les racines de l’équation r° — (By + yx + x) r — 248 — 0. On trouve ensuite
a (y Hz) = Cirierit + Corserat + Csrse"st a (83 + yy) — a (8 + y) x = Cir fers + Corgeraf + Cirierst, L’élimination de t entre ces trois équations conduit aux intégrales du problème. dx dy dz du
y Zz x R. (ec + 2) — (y Hu) = CG, (&— 2) Æ(y —u) — Ce, L. + +3 += Gare tp :
da y dy D
SR Ge & G—n R. On trouve les intégrales y —x —C, (y — x) —2(C: — 1),
d’où l’on tirera facilement x et y en fonctions de 1.
6. sn nids DOS sin dt PT g o + nv, LATTES UE dt ? dt 4 dz dw LE PTT CE
n, ÿ, , sont des constantes données (Bour.).
R On trouve, en désignant par A, B, x, 8, C1, Ca des constantes arbitraires, g sinw n?
æ — B sin (nt +8) + Af sin (nt + x) + , Uu—Asin(nt+ a),
g Sin w n
y = R cos (nt + 8) + At cos (nt + x), v = À cos (nt + à) + (Le HE ee CoS & + Cité Ca, 0 — — gt cos « +- Ci.
