CHAPITRE XLWV

APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES DE L’INTÉGRATION DES ÉQUAT'ONS DIFFÉRENTIELLES.

446. Lorsqu'une courbe est définie par une relation qui a lieu en chacun de ses points entre certains éléments géométriques, comme la sous-tangente, le rayon de courbure, la longueur de l'arc, ete..., cette relation s'exprime par une équation entre les coordonnées de la courbe ct les dérivées de l’une d'elles par rapport à l’autre, et si l’on sait intégrer celte équation différentielle, on connaîtra l’équation générale des courbes qui vérifient la condition proposée.

Ainsi, si l’on demande la courbe telle que la longueur de la normale soit égale à l’abscisse du point où cette normale coupe l'axe des x, cette propriété se traduit par l’équation différentielle du premier ordre

Cette équation homogène s'intègre facilement et donne, en posant

Hit (1 + uw?) dx + 2ux du = 0, #8 d'où intégrant, Lx—Hl.(i+u)=I.C, x +y— Cr—o.

Cette équation représente un cercle de rayon quelconque, ayant son centre sur l’axe des x et passant par l’origine. La vérification se fait immédiatement,

44%. Cherchons la courbe dont les normales sont coupées en deux parties égales par la parabole n? — aë. Si x, y sont les eoordonnées d’un point de cette courbe, on a

1-d I = 4 PUR = — ë ae La dr 3 27 et la condition proposée s'exprime par l’équation

d 24y + 4ar = y°.

On pose y? — 7, on a l'équation linéaire

dont l'intégrale est

x LA x z—e[C—4fe “xdx], ou y?— Ce’ + 4a (x La).

448. On demande une courbe telle que l’aire S entre cette courbe, l’axe des x, l'axe des y et une ordonnée quelconque soit proportionnelle à l'arc s terminé aux mêmes ordonnées.

On a, d’après cette définition, S—as, dS—ads, y—ap 1 ty", et l'équation différentielle de la courbe est celle-ci :

d Ë d sd / Er, ou ae rico ne dæ a y? — a?

On néglige le double signe, qui répond à un simple changement du sens des positifs, et l’on a

ga Sn FO 1 Ve Ua IE d'où y+p/y —a?— ae

On en déduit pour la valeur de y ape 20 Vas VER RL LE )

La courbe est une chaîinette (Ch. XVII, ex. 4).

449, Un problème célèbre dans ce genre est celui des trajectoires. Etant donné un système des courbes (C) dont l’équation renferme un paramètre variable x,

il faut trouver une courbe qui coupe sous un angle constant toutes les courbes du système (1).

Soient (x, y) les coordonnées du point M où la trajectoire coupe une des courbes (C), dy : dx le coefficient angulaire de la tangente en M à la trajectoire ; o et Y les inclinaisons respectives des tangentes à la courbe (C) et à cette trajectoire sur l’axe des #, m la tangente de l'angle constant d’intersection. On a, les axes étant rectangulaires,

Bo TEE tg ( — o) = m, d’où l’on tire la relation

dE , OFdy OF OFdy (2) mood M

ee ne

Ôy 0x 6x)

Cette équation renfermera encore, en général, le paramètre «, mais si l’on élimine « entre les équations (1) et (2), on aura entre x, yet dy : dx une équation qui sera l'équation différentielle de la trajectoire cherchée. L'intégration de cette équation fera connaître les courbes qui répondent à la question, et comme l'intégrale renfermera une constante arbitraire, on voit que ces courbes seront généralement en nombre infini, comme il était facile de le prévoir.

Prenons, pour les courbes (C), les paraboles

y — ax = 0, a étant une constante donnée. L’équation (2) sera

— «ax 42 — m (: + aux! æ) 0:

ou, multipliant par ædx et remplaçant «x par y, xdy — aydx — m (xdx EL aydy) = 0.

Cette équation homogène a été intégrée au n° 466. Dans le cas particulier où a = 1, elle se réduit à

xdy — ydx — m (xdx + ydy) = 0, et s'intègre en divisant par x° + y?. On a pour l’équation des trajectoires

are g? —— I. (x? y)—=0C,

ou, en introduisant les coordonnées polaires r et 0,

o T = Ce”.

Û à mm mé one Été de CE ne

mn T)

Les lignes (C) sont ici des droites y — «x passant par l’origine; les trajectoires sont des spirales logarithmiques, ce qui s'accorde avec une propriété connue de cette courbe.

450. Signalons deux cas particuliers du problème des trajectoires : 4° l’angle d’intersection est nul, m — 0; la trajectoire devient tangente à toutes les courbes (C). L’équation (2) se réduit à

OF , OF 0y

0x 0y dx et l'élimination de « entre cette équation et l'équation (1) ne conduit qu’à l’équation différentielle des courbes (C) (89%). L'intégrale générale ne donnera donc autre chose que ces courbes elles-mêmes, et s’il existe une courbe tangente à toutes les courbes (1), elle ne pourra être représentée que par la solution singulière de l'équation différentielle. Ceci s'accorde encore avec les propriétés des solutions singulières.

2 L’angle d’intersection est droit, m— ; l’équation (2) prend la

forme

Les trajectoires sont orthogonales. Ainsi, s’il s'agit des courbes paraboliques y — «x* considérées plus haut, on trouvera pour l'équation de leurs trajectoires orthogonales

aux"! dy 1—0O ou xdx + aydy —0,

dont l'intégrale est

x? + ay? = C.

Les trajectoires sont des coniques ayant l’origine pour centre : ellipses si a > o, hyperboles si a < 0. L'hypothèse a — — 1 donne le système

orthogonal xy—= a, & — y" —=0C,

composé d’hyperboles équilatères ayant les axes coordonnés pour asymptotes et d'hyperboles équilatères dont les asymptotes sont les bissectrices des angles formés par ces mêmes axes.

451. Cherchons encore 1° Les courbes (C) telles que les rayons vecteurs menés d'un point (x,y) de la courbe à deux foyers fixes F et F’ fassent

Eh —

avec la droite FF’ deux angles de somme constante a; 2° les trajectoires orthogonales du système de ces courbes.

L’axe des x étant la droite FF’, l’axe des y la perpendiculaire en son milieu O, FF —2c,ona

arc g=

AS arc ge

ou (C) &? — y? — 2xy cota — c° pour l’équation des courbes (C); x est le paramètre variable. Les courbes

Ce — yeota) & + y x cota = 0,

et en éliminant cotæ au moyen de l'équation (C), on a pour l’équation différentielle des trajectoires orthogonales

(gt cg D (at + pt — c)x = 0, ou, sous une autre forme,

(2? E y? 0?) (ydy + xdx) — 2c?x dx = 0.

Le premier membre est une différentielle exacte. L'intégrale générale est (B) (Eye 6) — qotat = 6, B étant la constante arbitraire. Les courbes (B) sont des cassinoïdes : le produit des distances d’un point quelconque de la courbe aux foyers F et F’ est constant, comme on le voit en écrivant l’équation (B) sous

la forme Ex + cc] [+ @— c1= Ê.

Les hyperboles (C) et les cassinoïdes (B) forment donc un système orthogonal (1).

45%. Si les courbes (C) dont on cherche les trajectoires orthogonales sont définies au moyen de leur équation différentielle f(x, y, y) = 0,

(1) Lamé a discuté en détail ce système orthogonal (Zecons sur les coordonnées curvilignes, 15me lecon).

on obtient immédiatement celle de leurs trajectoires orthogonales en observant que l’on a

d I : dx = me d’où f( y; -) = 50) est l'équation cherchée. On retrouve facilement l’équation (3). Ainsi, les coniques homofocales

x? y° DER D EE

a?, b? étant donnés, À le paramètre variable, nous donnent

5 OST. D HAE) ? a+ RATE ETC Remplaçant a? + À, 6? + ] par leurs valeurs tirées de ces dernières équations dans l’équation des coniques, on trouve pour l'équation différentielle de celles-ci (Ch. XXXIX, ex. 4) TL? — y? — a? + b?

12 CRT () nr = en et en remplaçant y’ par — dx : dy, on a l'équation différentielle des trajectoires

c'est-à-dire une équation identique à (6). Ceci nous montre que le système de coniques (x) renferme ses propres trajectoires orthogonales, et en effet l’équation () donne pour y’ deux valeurs dont le produit est égal à — 1; ainsi, par chaque point du plan passent deux coniques homofocales qui se coupent à angle droit. Les coniques sont des ellipses pour a? > À > — b?, des hyperboles pour À < — b?.

433, La courbe dont la recherche a conduit à une équation différentielle n’est pas toujours donnée par l'intégrale générale : elle peut être fournie par la solution singulière. C’est le cas lorsque la courbe est définie par une propriété des tangentes, et que chaque tangente, prise isolément, est une ligne qui satisfait à la condition donnée. Ainsi, si l’on cherche la courbe telle que le produit des segments compris, sur deux axes rectangulaires, entre l’origine O et une tungente à la courbe, soit

égal à un carré k?, on est conduit à l’équation

GC) (et

Mais, sous la forme y=pz EL —p, elle constitue une équation de Clairaut (445%) dont l'intégrale générale y = Cx + kp/— C représente simplement l’une quelconque des tangentes à la courbe, et dont la solution singulière résulte de l’élimination de p entre l'équation

différentielle et celle-ci :

f Aou me À AE PE

217 —p Cette élimination facile conduit à l’équation RL c'est la solution singulière, représentant une hyperbole dont les asymptotes coïncident avec les axes coordonnés. Telle est la vraie solution du problème.

454. D'autres problèmes conduisent à des équations différentielles d'ordre plus élevé. Cherchons la courbe dans laquelle le rayon de courbure et la normale sont dans un rapport constant,

aR = N.

Remplaçant R et M par leurs valeurs connues, on a Sn OS 2 ne des

le signe supérieur se rapportant au cas où la courbe tourne sa concavité vers les y positifs, et où R et N, par conséquent, sont dirigés en sens contraire l’un de l’autre si y > o. L’équation (y) rentre dans celles du n° 422. Posant dy : dx — p, on a successivement

ypdp 2ady 2pdp : — + —— , MT T7 0 met d’où, en intégrant, L(i+p)=+2al.y=1C, 1+p?— Cy2,

d Fit lie Var = + Cyr, dx SEE 7 ON dx /Cy+22 — I

L’équation des courbes qui satisfont au problème est donc x — G + ( LU :

PATES Cas particuliers : 1° a—1; si l’on prend le signe inférieur dans

l'équation (y), le rayon de courbure et la normale sont égaux et de même sens, On a

d ee Gt y,

ÉAMIRANUR EEE

La courbe est un cercle dont le centre est sur l’axe des x. Prenons le

signe supérieur, le rayon R et la normale sont égaux et de sens contraires, On a, en faisant C — 1 : «?,

PER Gt (su. EEE

L/y® — où

On en tire la valeur de y,

la courbe est une chaïnette.

2 L'hypothèse a — 1 : 2 ou R— 2N conduirait, de même, suivant qu’on prendrait le signe supérieur ou inférieur dans l’équation (), à

= + EG» NN NE er F2

V7 Cy — y?

dont la première représente une parabole à axe parallèle à l’axe des y, la seconde une cycloïde ayant pour base l’axe des x ; C est le diamètre du cercle générateur.

453. On tombe encore sur une équation du second ordre lorsqu’on veut tirer l’équation d’une courbe en coordonnées rectangulaires d’une relation donnée (4) s— f(?) entre la longueur de l'arc s et l’inclinaison ® de la tangente sur l’axe des æ. Cette relation différentiée donne

2y ddr où (+) ue ct)

dx?

en vertu des valeurs de ds et de do. Mais il vaut mieux ramener directement le problème aux quadratures en prenant o pour variable indépendante et ayant égard aux relations

dx dy (5) Piel de RO

qui donnent, en remplaçant ds par sa valeur et intégrant,

ze C+[f(p) cose de, y —C+ ff (6) sine de.

Les constantes C et C; peuvent être négligées, car on peut toujours les réduire à zéro par un déplacement de l’origine des axes, et la forme de la courbe n’en dépend pas. L’élimination de o conduira ensuite à l’équation entre x et y. Ainsi, de la relation s — a, on déduirait

x —asiNnp, y——4ACOsSY, et par l'élimination de o x? Ly? = a?, équation d'un cercle de rayon a, mais dont le centre est arbitraire. Le problème de trouver une courbe définie par une équation R — F (o) entre le rayon de courbure et l’inclinaison de la tangente se ramène au précédent par la relation connue ds — + Rdo. On aura donc ici

x — [ F(p) cosp dy, y— [F()sine dy en faisant abstraction du double signe qui s'élimine par un renversement dans le sens des axes positifs.

Par exemple, l'équation R — ao conduit à

x —a(psinp + cosp), y—a(sinp — p coso), d'où x CSP ysinp—=4a, x sin —7yCcosp — ay,

d’où, élevant au carré et ajoutant, a y= a? (1 +).

Eliminant ®, on a enfin