D COS SIN
RE Er a
équation d’une développante de cercle.
456. Enfin, la recherche d’une courbe dont la développée est donnée
par une relation o — f(0) entre l’arc o et l’inclinaison 0 de la tangente, se ramène encore aux mêmes formules (5). Soient (x, y) les coordonnées d’un point M de la courbe cherchée, R son rayon de courbure, 9 linclinaison de sa tangente sur l’axe des x. On sait (240) que l’on a
R=54+C—f(O)+C, p—04—, ds = [/(8) + C] dé donc, en vertu des équations (5), x = + ([f(0) + C] sin 0d0, y — + ([f(8) + C] cos 0 d8.
La constante C reste arbitraire. Si, par exemple, la développée a pour équation |
6 — f(0) — a?b?(a° cos?0 + b? sin? 0) ?, on trouvera en vertu des formules qui précèdent
2 cos0 b° sin 0 D AERN AE N ED LRPS TU EE e .
J/a? cos?0 Lb?sin?0 a? cos? 0 b?sin?6
et, en combinant ces deux égalités,
(x Æ C cos0)? Je (y & C sin0}? ee a? b?
Pour C — o on trouve une ellipse, qui est donc une des développantes de la courbe donnée. En considérant 9 comme une variable auxiliaire et C comme une constante arbitraire, les équations ci-dessus représenteront toutes les courbes parallèles à cette ellipse, puisqu'elles auront même développée.
45%. Courbe de poursuite. — On nomme ainsi la courbe décrite par un point M (x, y) qui se dirige dans un plan, avec une vitesse constante, vers un point M’ (x’y’) qui décrit une courbe donnée avec une vitesse également donnée. Les axes étant rectangulaires, en exprimant que la tangente en M à la courbe de poursuite passe par le point M’ et que le rapport des deux vitesses est égal à une constante donnée n, on a les deux équations
@ y =, (© VA — à
Entre ces deux équations et celle de la courbe décrite par le point M’ il faut éliminer x’ et y’ ainsi que leurs différentielles. Prenons un cas simple. Le point M’ décrit une parallèle x’ = a à l’axe
des y; le point M part de l’origine à l’instant où M’ quitte l’axe des x. Les équations (d) et (e) se réduisent à
eten différentiant la première, on a
dy" Ke d°y Ft d?y al Det d'o VA Le ro rer k
On fera (429) dy — pdx, et l’on aura
dp dx a | = ———— - + —- — ——|], ss + 1.C, d’où
cri p+yi+p=C(a— x)”.
A l'instant du départ, x — 0 et p—0, car la vitesse du point M est dirigée suivant l’axe des x. On a donc
1 ur 1— C0 OURU- 0
et en résolvant l’équation par rapport à p, on trouve
SECURITE PT x 2|\a—x a
Une nouvelle intégration donnera, si n est > ou < 1,
E 1 RER n a \»" n a — x\”" CEA 2 CE pra a )|
et comme x et y s’annulent ensemble,
an
Ci = — Li)
Si n était égal à 1, c'est-à-dire si les mobiles avaient des vitesses égales, on trouverait
PE Car Ce
. pour l’équation de la courbe de poursuite.
Exercices.
4. Trouver la courbe dont la sous-tangente est une fonction donnée f (x) de l’abscisse
du point de contact
