y = Ce Ja

Cas particuliers : f(x) — x, f(x) = x?.

2. Les distances de l’origine aux points où la tangente coupe l’axe des y et où la normale coupe l’axe des æ sont dans un rapport constant a. Trouver la courbe. __R. L'équation différentielle est ydx — xdy — a(xdx + ydy), On trouve la spirale logarithmique :

LV a Ey—=C—aarctg?, ou r— Cent.

8. L’ordonnée à l’origine de la tangente est égale à 4x"y". Trouver la courbe. R. On tombe sur une équation de Bernoulli dont l’intégrale est

Ten

'Etghe — Cr!—" nn k mn —1

Cas particuliers : m—0, n —2; mMm—0, n——1.

4, Le segment compris sur l’axe des x entre la tangente et la normale a une longueur constante 2a. Trouver la courbe.

R. Prenant pour variable auxiliaire l’inelinaison + de la tangente sur l’axe des x,

on trouve y—=asin2?, æ—a (cos 29 + I, sin? +),

Discuter la courbe au moyen de ces deux équations. 5. L’aire de la courbe entre l’axe des y et l’ordonnée du point M (x,y) a pour expression ay — bx, a et b étant des constantes données. Trouver la courbe.

“ R. y —=th(es — 1).

&. Le rayon vecteur r est proportionnel au cube de la distance P du centre à la tan-

gente; trouver la courbe. | R. Onar—aP, et l’on trouve, en formant l’équation différentielle et l’intégrant,

ET aÿr5 cos -0— 1.

3. Trouver la projection sur le plan XY d’une courbe qui satisfait, sur la surface

à la relation dz — 0, d?z étant pris en traitant dx et dy comme constants.

R. L’équation différentielle de la courbe est

dy \° 4y dy (CE au T5 2(E) =0

y® — Cxy (1 + x?) + Cx'— 0.

8. L’arc et l’abscisse sont liés par l’une des relations suivantes

son intégrale est

s— al, wits= Ant: Ps 2701 trouver la courbe,

R 1° y=CHV em Hal, ————-.

a+ Va? — x° do æ == (I— cosw), y =" (0 sin w) (Cycloïde). 2 2 2 5° æ5 L y5 — a5,

9. La projection, sur le rayon vecteur, de la normale terminée à l'axe des x, est une constante a. Trouver la courbe.

R. r — Re (Sections coniques).

1 — Ccos0 10. L’aire comprise entre la courbe, l’axe polaire et le rayon vecteur est dans un rapport constant avec l'aire du triangle formé par le rayon vecteur, la normale et la sous-normale polaire. Trouver la courbe.

R. Désignant par Æ 24° le rapport du triangle au secteur de la courbe, on arrive à l’équation linéaire | dx d6?

la condition pour 0 — 0 détermine l’une des constantes. On trouve, suivant le signe, ER (e20 se e-240), r2 — C cos 248, 42. La courbe est définie par l’équation 72 2 San «œ

entre l’are, le rayon vecteur et une constante a. Trouver la courbe. R. On trouve respectivement pour l’équation différentielle et pour son intégrale

42. Le triangle construit sur l’ordonnée et le rayon de courbure a une aire constante. Trouver la courbe.

R. On suit la méthode du n° 45%. De l'équation

Ry sing — a?

on tire dy = sing ds —Rsins fe dy,

et par suite

48. Étant donnée une courbe (A), trouver une courbe (B) qui soit normale à une série de cordes comprises entre la courbe (A) et l’axe des x, et qui coupe en même temps ces cordes en deux parties égales. Cas particuliers où (A) est une droite passant par l’origine, ou une parabole tangente à l’axe des y.

R. Soient (x, y) les coordonnées d’un point M de la courbe cherchée; (+’,0); (x’’,y’") celles des extrémités de la corde qu’elle coupe en deux parties égales; x’ —+(y"') équation de la courbe donnée (A). On a les relations | dy Tu

2 x 2r ya, ——; dx æ”"— x

= — I, d’où dy Es Fe 4 er +» (27) = 0

pour l’équation différentielle de la courbe (B). 1e Dans le cas où (A) est une droite y — x tg }, on trouve

sin? À 5 cos2 À (rs) (u+actl) 2—C.

Pour C — o on trouve les bissectrices des angles que fait la droite (A) avec l’axe des æ. Si l’angle À est droit, on tombe sur des hyperboles équilatères y?— x—C; ces courbes jouissent donc de la propriété de partager en deux parties égales leurs normaies terminées aux axes.

20 Ur —— 2pæ/’.

adæ — ydy — a dx. P Les courbes (B) ont pour équation a P p° C = = - TL — — € ? .

as 8 37 Pour C = o on a une parabole facile à construire. 44, Trouver les trajectoires orthogonales des paraboles y? = 2p (x — a).

is À. Y = Ce ».

45, Trouver les trajectoires orthogonales des cissoïdes comprises dans l'équation y* (2x — a) = x’, R. L’équation différentielle des trajectoires est

d (3? + y?) y =Ÿ + 225 — 0; dx

l'intégrale de cette équation est a +y—=CV'2x y ou r=CV/1—+ cos°6.

46. Trajectoires orthogonales des cercles x? + y — am —0 tangents, à l’origine, à l’axe des y.

kH. L’équation difiérentielle et l’équation finie des trajectoires sont respectivement (y° — x?) dy + 2œydxæ —0, x + y — Cy = 0.

Cercles tangents, à l’origine, à l'axe des æ. 49. Trajectoires orthogonales des courbes représentées, en coordonnées polaires, par l’équation r° = a° L EU .

œ R. On se servira de l’expression de tang # donnée au n° 2885. On aura do a° QUE = ———————, = 0 dr 2r° sih0 cos 0 ” V2 (sin 0 © 48. Trouver la courbe dont la tangente est à une distance constante de l’origine, R. On trouve, en posant p = dy : dx, l’équation différentielle

y—pz=aVi+p, équation de Clairaut. La réponse est donnée par la solution singulière x? + y? — u? (cercle de rayon a).

19. Trouver la courbe telle que la portion de sa tangente entre les axes rectangulaires soit constante.