CHAPITRE XLVI

EXISTENCE ET ÉVALUATION APPROCHÉE DES INTÉGRALES DES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES.

458. Soit une équation différentielle du premier ordre entre x et y, d (Gr) = l'y);

cherchons sous quelles conditions il est possible de satisfaire à une telle

équation par une fonction convenable y de x, et quelle sera la nature de cette intégrale. Désignons par Zo, yo des valeurs arbitraires de x et de y; par a, À, C des quantités positives déterminées et admettons que, dans - une région T limitée par les valeurs x + a de x, y, + Aa de y, les fonctions f(x, y), f, (x, y) soient simples, continues et telles que l’on ait (2) Mf(æ;y) < A, Wfy(z, y) <C.

Prenons une valeur quelconque X de x, comprise entre xo’et %o + a; partageons l'intervalle (x, X) en un nombre arbitraire n de parties par

les valeurs o, Li, .. Æn 13 Xn — X, et posons en général æi41 — x; — D.

Calculons des valeurs correspondantes pour y par l’équation Ay (3) Axa f(æ, VIE

c’est-à-dire formons la suite d’égalités (4) y: — yo — Dof(to, Yo); JeRULE Dif(tis Yi), …. Y— Yi flou). On voit d’abord que ces valeurs y:1, y2, .… Y de y appartiendront à la région T, car si l’on ajoute membre à membre les : premières équations (4) et qu’on applique une formule connue (4, IIT), on aura

Yi — Yo— (00 di + Hd) AMC Los Yo); (ais Yi), +. (dis, Yi] ou

(5) Yi — Yo == (Xi — Lo) M [fécarye), (vil.

Si l’on admet que les points (0, Yo), (Æ1, Yi), ++. (Xi 15 Yi) appartiennent à la région T, les quantités f{xo, yo), f(t1sYa), ++ f(&i-1, Yi-1) seront moindres, en valcur absolue, que A, et il en sera de même de la moyenne entre ces quantités. On a donc

æ mo a MAY y) An AN a) du

donc y; sera compris entre yo — Aa et y, + Aa et le point (x:, y:) appartiendra à la région T. Or, par hypothèse, le point (0, yo) est pris dans cette région, donc, il en sera de même du point (x, y:); cette condition étant vérifiée pour les points (to, yo), (&1, Y1), le sera pour le point (x2, y2) d'après ce qui précède, et ainsi de suite, jusque et y compris le point (X, Y).

De là résulte une autre conséquence, La fonction f(x, y) étant continue dans la région T, la valeur moyenne qui figure dans l'équation (5) ne

— Di — peut être que la valeur de f(x, y) qui répond à un point (x, y) de la région qui renferme les points (x,, Yo), ... (æi 1, Yi4), région limitée par les valeurs (Go, xi) de x, Yo — A (ti — Lo), Yo + A (xs — Xo) de y.

Si donc nous désignons, dans tout ce qui suit, par 0 une quantité quelconque > o et < 1 et par n une quantité > — 1 et < 1, nous pourrons poser (6) y — yo = (@i — %o) f ro + 0 (ti — Lo), Yo + PA (xi — %o)], et comme cette égalité subsiste pour ? = 1, 2, ..,n,

(7) Y—yo—(X — x) f [ro +0 (X — 20), yo + NA (X — xo)].

459. Cherchons maintenant la variation f; qu'éprouve l’une quelconque des quantités y; lorsqu'on fait varier y, d’une quantité fo, telle d’ailleurs que y, + Go soit toujours compris dans l'intervalle (y, — Aa, Yo + Aa), et lorsqu'on calcule les quantités y1, y2, .… au moyen de l'équation (3).

Nous aurons d’abord, par là,

(ga + Bi) — (yo + Éo) = do f (Go, Yo + Bo), d’où, eu égard aux équations (4),

Bi — Bo = do [f (os yo) + Bo) — f (ro, ÿo)] = do Éo , (&os Yo + 6B0), par l'application de la formule du N° 94. Mais, dans la région T, à laquelle appartiendra encore le point (x,, y: + f:), f; (x, y) a une valeur absolue moindre que C, done

Bi = Bo [1 + do f} (to; Yo + 0)] = Bo (1 + 1000), d'où MA B, < MA Bo (1 + DC), et par un raisonnement identique VA Be < VA Ba (1 + DC), … MA PB: < VA Bi (1 + d:C); d’où, multipliant membre à membre, M Bi < M Go (1 H DC) (1 H 01) … (1 + d:,C).

Mais il suit évidemment de la série qui représente e* que l’on a, pour toute valeur positive de x, e* > 1 + x, donc 1 doC < edoC, 1 + d1C < 6810, … ce qui nous donnera, en observant que do + di + +. di, — x — %o,

(8) \A B: < VW Boetri—%e),

Telle est la limite supérieure de la variation qu’éprouve l’une des quantités y, pour une variation à de la valeur initiale yo Si l’on applique cette formule à l'hypothèse ? — n et si l’on pose, pour abréger, X — x — [, on aura

VA B, < VA Boett.

Si donc on fait décroitre indéfiniment VW £,, il en sera de même de M,, d’où il suit que la valeur finale Y est une fonction continue de la valeur initiale yo.

Le même procédé permet d’évaluer la variation B,, qu'éprouve Y par suite d’une variation f; qu’éprouverait l’une quelconque des quantités y;, savoir (9) A Es € VA Get) € VA Get,

460. Ces préliminaires établis, montrons que si l’on fait décroitre indéfiniment les éléments do, d1, +. On s de la différence X — x, par des subdivisions successives, c'est-à-dire en intercalant de nouvelles valeurs de x entre celles qui partagent l'intervalle (x,, X), puis de nouvelles encore entre les précédentes, et ainsi de suite, la valeur de Y calculée par l'équation (3) au moyen de toutes ces valeurs successives de la variable, tendra vers une limite finie et déterminée.

Concevons d’abord que l’on partage l’intervalle (x, 1) en un uombre quelconque p de subdivisions, et cherchons la quantité y, qui remplacera y.. Nous aurons, d’après les formules (4) et (6),

L'Pérerl (c d f (2%, Yo)» Yi AUOT US f (to + 00, Yo + nA9,).

Mais comme les éléments d,, d,, .… sont aussi petits qu’on le veut, nous admettrons que la division de l'intervalle (xs, X) ait déjà été poussée assez loin pour que, dans chacune des régions ayant pour contour (ai, di + di, yi — Ad, yi + Ad), l’oscillation de la fonction f (x, y) soit moindre qu’une fraction donnée 6, arbitrairement petite, ce qui est possible (488). Nous aurons donc, d’après la valeur de y!,

Y, —— Yo —= do [F (&os Yo) —- oc], (— FR no 1) À et par suite Yi — Yi = dons.

Telle est l'expression de l'accroissement qu'éprouve y: lorsque, au lieu de passer directement de x%o à &1, on y passe par un nombre quelconque de valeurs intermédiaires. D'ailleurs, d’après l'inégalité (9) du

ENRE

état 4

N° précédent, la variation absolue qui en résultera pour Y sera moindre que d,n,set! et a fortiori que dosel?,

On trouverait de la même manière que si l’on subdivise l'intervalle (x, &,,) en un nombre quelconque d’intervalles plus petits, on aura

(A) Yyii — yi = Di [f (ei, ÿi) + ns], d’où Yi — Yi — dinis,

et il en résultera pour YŸ une variation plus petite numériquement que diseC!, et ainsi de suite. Par conséquent, si nous concevons que l’on passe de la valeur x, à la valeur X en intercalant un nombre quelconque de valeurs intermédiaires entre les valeurs successives %,, 4, Los ... Æn 1 X, la variation absolue totale qui en résultera pour la valeur finale Y sera

moindre que

d0e0t EL Dise0t LE … L 9, 100! — olett,

Mais la quantité o peut être prise aussi petite qu’on le veut, en supposant les d; suffisamment petits; donc, lorsque la division de l'intervalle (x,, X) a été poussée assez loin, de nouvelles subdivisions, quelque loin qu'on les pousse, ne peuvent plus faire varier Ÿ que d’une quantité moindre qu’une fraction arbitrairement petite. Il en résulte (48) que Y tend vers une limite finie et déterminée.

461, Cette limite est indépendante du mode de division de l'intervalle (xs, X) en éléments indéfiniment décroissants. Pour le démontrer, on suit la même marche que dans d’autres cas analogues (806). Considérons deux modes de division distincts, (A) et (B), et supposons d’ailleurs que, dans chacun d’eux, les éléments d; soient déjà suffisamment petits pour que l’oscillation de la fonction f(x, y) soit moindre qu’une quantité arbitrairement petite o dans l’une quelconque des régions (x, &; + 0;, yi— Ad, yi+- Ad). Comparons les valeurs YA et Yg de Y qui résultent respectivement des modes (A) et (B), avec la valeur Yc qui répondrait à un troisième mode (C) résultant de la superposition des deux autres, c’est-à-dire de la réunion des valeurs de x qui, dans chacun des deux modes (A) et (B), décomposent l'intervalle (x,, X) en intervalles plus petits. Par rapport à chacun des modes (A) et (B), le mode (C) peut être regardé comme provenant de la subdivision des intervalles d,, 01, .… . qui le constituent en intervalles plus petits, et, d’après ce qui a été établi

plus haut, il résulte de cette comparaison que l’on a les inégalités A (Ye RE Ya) A alet!, A (Ye ni YB) “€ cle, donc enfin, M (YB — YA) < 2olett,

Il suit de là que la différence Yg — YA tend vers zéro lorsque, dans les deux modes (A) et (B), les éléments d; tendent eux-mêmes vers zéro.

Il est donc démontré que, si on partage l'intervalle (x, X) en éléments indéfiniment décroissants suivant une loi quelconque; si l’on attribue à y une valeur arbitraire y, pour la valeur donnée x, de x, et si l’on détermine au moyen des équations (4) la valeur de YŸ qui se rapporte à la valeur X de x, cette quantité Y tendra vers une limite finie, déterminée et unique, qui ne peut dépendre, par conséquent, que de % et de X, et que pour cette raison nous désignerons par F (yo, X).

46%. Supposons que y, reste fixe, mais que l’on fasse varier X, désigné alors par x, et que la valeur limite de Y soit simplement représentée par F(x). Cette fonction F(x) jouit de la double propriété de se réduire à y, pour &æ = %,, et de vérifier l'équation (1) si l’on y fait y = F(x). Remarquons en effet que l’équation (7)

Y — yo = (X — %0) fro + 0 (X — 5); Yo + NA (X — xo)] nous fournit une expression de la valeur Y à laquelle on arrive en partant de la valeur y, pour x — x,, et appliquant l'équation (3) en partageant l'intervalle (x,, X) en un nombre quelconque de parties. Cette relation

subsistant quelque grand que soit n, s’appliquera évidemment à la valeur limite de Y, en sorte que si l’on remplacc X par x, on aura

F (x) — yo = (x — 2%) [xs + À (x — Lo)» Yo + LA (x — %)|], À et x ayant des valeurs absolues ou plus égales à l’unité. Si, dans cette équation, on fait x — 2%, on trouve F(xo) — yo, Comme nous l’avions annoncé.

D'autre part, cette même équation (7) permet également de représenter la valeur de Y à laquelle on arriverait si l’on partageait l'intervalle (xi, X) en un nombre arbitraire d'éléments, et si, partant de la valeur y; pour x = %;, on calculait Y par l'équation (3). On trouverait évidemment par un raisonnement identique

Y—yi=(X — x) [fx +0 (X — x), y +nA(X — xi)],

9 et n ayant des significations semblables à celles qu’ils ont dans l’équation (7). Cette relation subsistera quelque grand que soit le nombre des divisions de l'intervalle (x, X) et s’appliquera, par conséquent, aux valeurs limites de y; et de Y qui correspondent aux valeurs de x choisies pour x; et X, Ainsi, on aura

F(X)—F (er) = (X —x) mA (X —c), Fa) Hu (X —x)].

Si donc nous remplaçons x; par x, X par x + h, il viendra

F(x+h)—F(x) = hffx + Ah, F (x) + AR].

Divisant par h et faisant tendre h vers zéro, observant que f(x, y) est continue dans la région T, nous aurons be el

La démonstration se ferait de même pour les valeurs négatives de k

en posant X — x, x; — x + h, donc, en général, F’(x) = f [x, F(x)],

ce qui montre bien que la fonction y —F (x) vérifie l'équation différentielle (1) dans l'intervalle (%0, %0 + a). Ainsi y = F (x), ou y — F (yo, x) est une intégrale de l'équation (1), et cela, quelle que soit la quantité arbitraire yo, pourvu que les fonctions f(x, y), f, (x, y) satisfassent aux conditions prescrites au n° 438. L'intégrale n’est donc entièrement déterminée que si l’on attribue à y, une valeur parfaitement déterminée.

463. Remarques. — 1° Nous avons supposé %o < X, les accroissements 0; étant, par conséquent, tous positifs, mais il n'y aurait évidemment aucune difficulté à établir les mêmes propriétés, si l’on supposait que x passât de la valeur x, à une valeur plus petite X (X > x, — a), par une série d’accroissements négatifs.

2° Nous avons admis que les fonctions f(x, y), f(x, y) vérifiaient certaines conditions de continuité dans une région T limitée par les valeurs x, + & de x, yo + Aa de y. Mais si ces fonctions sont continues dans le voisinage du système de valeurs (%o, yo), il sera toujours possible de délimiter autour de ce point une région dans laquelle ces conditions seront vérifiées. En effet, les quantités f(œo, Yo), fy (%o, Yo) ayant des valeurs finies et déterminées, il suit de notre hypothèse qu'il existe autour du point (x, yo) une région T, dans laquelle f et f, restent

continues et moindres, en valeur absolue, que certains nombres fixes A et C. On aura donc, dans cette région T;, Mf(x, y) <A, VAfy(r, y) <C.

On déterminera ensuite une quantité positive a assez petite pour que les valeurs x, — a et x, + a de x, yo + Aa et y, + Aa de y limitent une région T entièrement comprise dans la région Ti, ce qui est évidemment possible. Cela fait, la région T jouira de toutes les propriétés admises dans notre démonstration, et il suffira de prendre xo € X < x, + a pour que celle-ci soit applicable.

3° L'interprétation géométrique éclaireit cette théorie. L’équation (1), considérée comme appartenant à une courbe plane, définit la direction de la tangente en un point quelconque de la courbe au moyen des coordonnées de ce point. Partant d’un point arbitraire (x,, Y,), dans la région du plan où la fonction f(x, y) vérifie les conditions admises, et appliquant les équations (3) ou (4), on construit une série d’autres points tels, que la droite qui joint l’un d'eux au suivant à la même direction qu’aurait la tangente à la courbe si elle passait par le premier. Le polygone qui a ces points pour sommets a ses côtés indéfiniment décroissants, lorsque les d; tendent vers zéro; ses sommets ont pour limites les points d’une certaine courbe dont les tangentes sont les directions limites des côtés du polygone; cette courbe, parfaitement déterminée dès que le point (x,, yo) est donné, représente une intégrale de l’équation différentielle (1).

464. Il suit de la théorie exposée plus haut que, si les fonctions f(x, y), fy (x; y) sont simples et continues dans une région T du plan des (x, y), il existera toujours dans cette région une fonction y de x, simple et continue, qui vérifiera l’équation différentielle (1) et qui, de plus, prendra pour une valeur donnée x, de x telle valeur arbitraire Yo que l’on choisira, pourvu que le point (x,, yo) appartienne à la région T.

Cette fonction intégrale n'étant déterminée entièrement que si y, est donné, doit être regardée comme une fonction du paramètre y,, ou du moins, son expression, quelle que soit la forme sous laquelle on l’obtient, doit renfermer une constante arbitraire qui permette encore, pour une valeur donnée x, de x, de choisir arbitrairement la valeur de y. C’est bien là la démonstration de l'existence de l'intégrale générale dans le sens que nous lui avons attribuée au n° 401.

DLL

De plus, il est facile de voir que, dans la région T, la fonction y qui satisfait à ces deux conditions est unique. Supposons en effet que, indépendamment de la fonction y —F (y, x) à laquelle nous sommes parvenu au moyen des équations (4), il existe une autre fonction u —œæ(x) de æ qui vérifie l'équation (1) et se réduise, pour æ —%, à la valeur @(%o) — yo. Donnons à x, comme au n° 438, les valeurs successives Loy Li Lay ve Ln 13 X, Et Soient Uo, U1, .. th les Valeurs correspondantes de la fonction uw; nous aurons en général, d’après le théorème de

M. Bonnet, p (ai + di) — p (as) = Di) (xs + 00) = di Lg” (&) Hi],

os désignant une quantité qu’on peut supposer aussi petite qu’on le veut en prenant tous les d; suffisamment petits, »; une fraction comprise entre — 1 et Lr. Cette équation revient à celle-ci, puisque w vérifie l’équation (1),

Uiga — Ui = di [f (oi, ui) H rio],

et elle est tout à fait semblable, entre w; et w;,1, à l'équation (A) que nous avons trouvée (460) entre y; et yiy:1, lorsqu'on subdivise d’une manière quelconque l'intervalle (x;, #:,1). Comme cette relation subsiste pour les valeurs 1 —0, 1,2,...,n — 1, que l’on a supposé wo = yo, et comme nous avons montré qu’en conséquence de cette relation la valeur limite de Y pour des valeurs indéfiniment croissantes de n est unique et déterminée, il s'ensuit que la différence entre w, et Y décroitra indéfiniment lorsque les éléments d; tendront vers zéro; en d’autres termes, les fonctions F (x) et œ (x) seront identiques.

Nous pouvons donc conclure que toute intégrale u = ® (x) de l’équation (1) dans la région T coïncide avec l'intégrale particulière, déduite de l'intégrale générale F (Yo, x) en attribuant à la constante une valeur convenable pour que, pour une valeur x, de x, cette intégrale générale prenne la même valeur y, que la fonction uw. Ce ne peut donc être que dans une région du plan où les fonctions f(x, y), f(x, y) ne satisferaient pas à toutes les conditions supposées. que l’équation différentielle (1) n’admettrait aucune intégrale, ou admettrait des solutions singulières non comprises dans l’intégrale générale. Ainsi l'équation

dy 1

du n° 401 admet la solution singulière y — æ; mais on a ici , I —1 f, (&, y) = st mt Et

et l'hypothèse y — x rend infinie cette expression, quelque valeur qu’on attribue à x. La dérivée f, ne reste donc pas finie et continue dans la région du plan à laquelle appartient la droite que représente cette sulution singulière.

Nous remarquerons encore que la méthode exposée aux n°” 458 et suivants pour établir l'existence de l'intégrale permet d’en calculer la valeur, pour une valeur donnée X de x, avec autant d'approximation qu’on le veut, en partageant l'intervalle (&,, X) en éléments 9;, suffisamment petits. De plus, les formules qui donnent une limite supérieure des variations que la fonction Ÿ peut éprouver, par suite de divisions ultéricures de ces éléments en parties plus petites, fournissent le moyen de déterminer l’approximation obtenue.

463. Considérons maintenant un système d’équations différentielles simultanées du premier ordre, tel que celui du n° 48%, et comme les particularités nouvelles qui résultent de la multiplicité des fonctions à déterminer se résolvent de la même manière pour deux fonctions ou pour un plus grand nombre, il suffit de prendre un système de deux équations entre trois variables, tel que |

dx dy (19) ah x y), Poe Le CO

Soit {, une valeur donnée de t; choisissons arbitrairement des valeurs correspondantes x, yo pour æ et y. Nous admettrons que, a, A, B étant des quantités positives déterminées, dans une région U limitée par les valeurs t, + à de f, x, + Aa de x, yo + Ba de y, les fonctions fi et f2 restent simples, continues et respectivement moindres en valeur absolue que À et B; que, en outre, dans cette même région U, les dérivées partielles |

lis (t 2, YEN OUT (OA

restent aussi continues et inférieures à des nombres fixes déterminés. Cela admis, supposons 1, <T <t + a; partageons l'intervalle (t,,T) en un nombre arbitraire n de parties do, dis. On 1, par les valeurs

Los lis ce ni, mn = T; Soient x, y; les valeurs de x et de y qui correspondent à £,, calculées simultanément à partir de x,, y, au moyen des équations

Az Ay (11) A hs y, A = REX y),

en sorte que l’on ait

| Li—Lo—Vofi(loyTo;Yo), maxi —Dififti,æi,yi), …, X—%n 1—0n if (li 13Tn 1 Yn1)s

Lo) l Yyi—Yÿo—Vof2(to,%o,Yo)s y2 —yi—=0Difafti, di, y), ... Y—yn-1—0n 1fa(ln 1 Un tnt)

Nous allons montrer d’abord que le point (ti, x, y:) appartient à la région U. On obtient en effet, en ajoutant membre à mewbre les : premières équations (12),

(13)ti to (tit) LAC [fi(to,Tosyo), fi (ismisyi)s ce Pa(tirsGirsi)],

et si l’on suppose d’abord que les points (lo,%0, Yo), +. (ii, is Yi) appartiennent à la région U, les valeurs correspondantes de la fonction f, seront numériquement moindres que À, il en sera de même de leur moyenne, et l’on aura ainsi

VA (ti — %o) < (lt: — to) À < Aa.

On prouverait, par un raisonnement semblable, que l’on a également VA (y: — yo) < (ti — ti) B < Ba,

donc t; est compris entre & et t, + a, x; entre %o — Aa et %o + Aa, y: entre yo — Ba et y, + Ba, ce qui prouve que le point (t;, &;, y:) appartiendra à son tour à la région U. Or, le point de départ (t, %o, Yo) est intérieur à cette région, donc il en sera de même du point (ti, &1, Ya); les points (4, Co, Yo), (ti, 1, Yi) Étant dans cette région, il en sera de même du point ({2, %2, y2:), et ainsi de suite, jusque ct y compris le point T, X, Y. La proposition est donc établie, et les fonctions fi, f: sont continues et numériquement moindres que À, B dans le voisinage de chacun des systèmes de valeurs déterminés plus haut,

Les points (ft, %o, Yo); (lis Li, ya). appartenant à la région U et la fonction fi (t, x, y) étant continue dans cette région, la valeur moyenne qui figure dans l’équation (13) ne peut être que la valeur de cette

fonction qui se rapporte à un point de la région comprenant les points (loy Los Yo)s see (i-4, Li-49 Yi-1), et qui est limitée par les valeurs

[bo, li, Lo + A \ (ti — lo), Yo nr B (li = lo)]; en sorte que, si nous désignons généralement par 0 une quantité simplement comprise entre o et 1, par n, 6 des quantités comprises entre — 1 et + 1, nous pourrons poser

Gi ) Li — Lo—= (ti—to)fi Lot 0(ti—- to), Xo=} A (ti— to), Yo EB(ti— t)] y YU (ti—to) f2 [to 0, (ti—to), Lo NA (ti to) yo É1B(t—t0)], la seconde équation se démontrant comme la première. Ces équations s'appliquent aux valeurs 1, 2, n de ?, et par conséquent aux valeurs

finales X et Y de x et de y.

466. Concevons maintenant que l’on fasse subir aux valeurs initiales %o, Yo des accroissements positifs ou négatifs &o, (2, tels que le point (to, Lo + 0, Yo + Go) appartienne toujours à la région U. D’après le raisonnement développé plus haut, les valeurs que l’on en déduira pour (æis y:), .. (X, Y) en appliquant toujours les formules (11) resteront comprises dans la région U, mais elles subiront des accroissements dont nous allons chercher la limite absolue. Soient «;, GB; les variations éprouvées respectivement par %, Yi, et posons

es /ai + P , Nous aurons, en vertu des formules (12) et (11), Diga — Qi = D fa (ti, M, UDE (ia + oi) — (ai + où) = dif (li, Di + oi, Yi + Bi), d’où œigs = Gi Où [fa (lis ai + ci, Yi + Bi) — fa (ti, as, Yi)]. Posons, pour abréger, 0 étant © o et < 1, (15) Pi fix (li, Li + Os, Yi + 0G:), Qù — 1h (ti, Li + ELTR Yi + OG:), nous aurons, par la formule de Taylor,

œiga = œi ++ di (Paati + Qu).

De même, si l’on désigne par P2, Q2 les valeurs des dérivées partielles de f: qui se rapportent à un système de valeurs (ti, ti + Oo, yi 0,6) des variables (0 < 4, < 1),

Bi+s =. B: —- D (Pac + Q:f:).

Élevant au carré et ajoutant, on à

ph — pè + ad [(Pac + Qué) a + (Pacti + Q2Bo) Bi

+ dË (Pic + Qu)? + Paci + Qb)°].

Mais on a, en général, quels FRE soient P et Q, (Pas + Q6:) < ps (P? + 0°), car on sait (4, II) que

(P2 + Q?) (ai + F7) — (Pari + QB:) = (PB: — Qui)?

On aura donc

(Pac + Q1B)? + (Pac: + Qb) << pà (PS + Qi + PE + Q$), WA [(Pici + Q.G:) Œi + (Pac: + Q2B:)5:] € pi (Pia + Qi)? + (Pacs + Qui) € p} PF + QE PE + Q?, donc, ph Ep [1 + 20: Pi + Qf + PE + Q5 + 05 (PS + QÙ + PS + QE

d’où enfin

DUT CAE EE) Si, par conséquent, K représente une quantité plus grande que la valeur de l'expression