PARA ER EE

dans la région U, ce qui est possible d’après nos hypothèses, on aura toujours piri pi (r + pi).

Remplaçons successivement ? par 0,1,2,...1— 1, et multiplions membre à membre les inégalités obtenues; il viendra

pi po (1 + doK) (1 + diK) .…. (1 + 0, 4K), d’où, raisonnant comme au n° 439 ct observant que d, +01 +... Lo, = di — to, posant {, — to — l,

(16) Pi re Does) <& Poe.

Cette équation s’applique en particulier pour la valeur à — n, et donne (17) Pa < pote

On verrait de même que si, dans le calcul des équations (1x), les quantités x; et y; éprouvent des variations quelconques «;, G;, il en

résultera pour X, Y des variations «,, B, telles que, désignant par P: la

racine J/aÿ + (?, par p, la racine p/a2 (62, on aura Pn ca perte

Il suit de là que les valeurs absolues des variations «,, , que déterminent, dans les valeurs finales X et Y, des variations «, et f, attribuées à &, et Yo, Sont moindres que la valeur de l'expression pe? et deviennent, par conséquent, infiniment petites en même temps que «, Bo. Donc X et Y sont des fonctions continues de %,, ys-

46%. Ces préliminaires permettent d'établir que, si l’on fait tendre vers zéro les éléments 9; de l'intervalle (f,, T) par des subdivisions successives, les quantités X et Y convergeront vers des limites finies et déterminées. Considérons d’abord l'intervalle (to, 1). Nous avons trouvé

Li — %o — Vofi (to; Los Yo), Yi — Yo = Vof2 (ts Los Yo)

Concevons que l’on subdivise l'intervalle (t,, t) en un nombre arbitrairement grand p d’intervalles plus petits, et cherchons les variations CTPICT qui en résulteront dans les valeurs de %1, Yi. Nous aurons, en vertu des formules (14), ,

Qi + œ) — 20 = dofi (to + 0009 To + 1AŸ9> Yo + EBdo)» ME [F1 (to + 605; Lo + nA05 Yo + GB0;) — fi (los Los Yo)]-

Les fonctions fi, f2 étant continues dans la région U, il résulte d’un théorème connu (488, 140) que l’on peut supposer toutes les divisions d; suffisamment petites pour que l’oscillation de chacune de ces fonctions soit moindre qu’unc quantité arbitrairement petite « dans chacune des régions limitées par les valeurs t: +0, de t,x; + Ad, de x, y: + Bo, de y. Nous aurons ainsi, en raisonnant pour f5, comme pour «1,

Vou <d58, VB: do, d'où pi < 06 LE2:

Ainsi, lorsqu'on subdivise l'intervalle (t,, t:) en autant de parties qu’on le veut, la somme des carrés des variations qui en résultent dans les valeurs de x et de y qui répondent à t — {4 est moindre que 20?0?.

D’après ce qu’on a vu au n° précédent, il en résulte, dans les valeurs de X, Y, calculées au moyen des formules (11), des variations plus petites, en valeur absolue, que pie! et a fortiori que die /2eEt. Subdivisons de même les intervalles d,, d2, ... 0,1 en parties aussi petites que

nous voudrons; les variations correspondantes dans les valeurs de X et Ÿ seront, en valeur absolue, respectivement moindres que

Oo /2 ef, Dop/2e, ., Ou10 V2 ES donc, si l’on passe d’un mode de division 9d,, d:, .… d,, de l'intervalle (to, T) à un autre, par la subdivision de chacun des éléments du premier en autant de parties qu’on le veut, mais en partant toujours d’un même système de valeurs (x, Yo) pour t =, les variations absolues de X et de Ÿ seront moindres que

(do 01 + re Hd, 1) ep/2 Et = olp/2 ele

Mais o peut être supposé aussi petit qu’on le veut, les d; étant pris suffisamment petits; donc les variations de X, YŸ finissent par décroître au-dessous de toute grandeur donnée par des subdivisions ultérieures de ces éléments d;, et par suite (48) les quantités X, Y tendent vers des limites déterminées et finies.

468. Ces valeurs limites de X et de Y ne dépendent nullement de la loi suivant laquelle on partage l'intervalle (%, T) en éléments indéfiniment décroissants. La démonstration se fait de la même manière qu’au n° 461. Considérons deux modes de division (A) et (B) de l'intervalle (to, T), dans chacun desquels les éléments soient déjà assez petits pour que, par des subdivisions ultérieures de ces éléments, les variations absolues de X et de Y restent toujours moindres qu’une quantité donnée € (467). On considérera un troisième mode de division (C) formé par la superposition des deux autres; relativement au premier (A), il pourra être regardé comme résultant d’une subdivision ultérieure des éléments de celui-ci, et par suite, les valeurs de X et de Y qui s’y rapportent différeront de celles qui se rapportent au mode (A), respectivement, de quantités absolues moindres que €. Il en sera de même si l’on compare la mode (C) au mode (B), donc les valeurs de X et de Y qui résultent du mode (A) ne peuvent différer respectivement de celles qui résultent du mode (B), en grandeur absolue, que de quantités moindres que 2e, c'est-à-dire aussi petites qu’on le veut.

Il est donc démontré que, de quelque manière que l'on partage l'intervalle (t, T) en éléments indéfiniment décroissants, les valeurs de X, Y qui répondent à {t —T dans les formules (12), et à des valeurs données %o, yo pour t — to, tendent vers des limites déterminées, finies,

— DD4 — qui ne dépendent conséquemment que de &, yo, T, et que pour cette raison nous représenterons comme il suit :

lim X — F, (x, Yo» T), lim Y — F2 (%o;, Yo» 1}

469. Si, supposant %, y fixes, on attribue à T une valeur variable t entre to et to + a, et si l’on désigne par F;(t), F2(t) simplement ce que

deviennent alors les fonctions F, et F2 ci-dessus, nous allons montrer

que les expressions x —Fi(t), y Fi(t)

vérifient le système (10), et se réduisent, pour { — to, aux valeurs données %o, Yo. Les équations (14) étant applicables pour 1=n — 1, nous donnent

X—% —=(T — to)f1 [fo +0 HE = to); Xo A (T LE bo); Yo + CB (T es to), et comme cette égalité subsiste quelque grand que soit le nombre n, elle doit subsister pour la valeur limite de X qui répond à n — « . Remplaçant T par {, on a done, À, 4, v ayant des valeurs absolues au plus égales à l’unité,

Fire lle Lo)fiClo—HA(— to), Lo + HA(—t0), Yo +VB(t—t0)],

et en faisant { — {, on trouvera F, (4) — x. De même F2 (t5) = yo. D'autre part, ces mêmes équations (14) permettent de représenter les valeurs de X et de Y auxquelles on parviendrait si l’on partait des valeurs Li, Yi pour {— t;, ct si, partageant l'intervalle (4, T) en un nombre arbitrairement grand d’éléments, on calculait par les équations (11) les valeurs

de x et de y qui répondent à { —T. On trouverait par un raisonnnement

identique X—x—(T—{t)filti+0(T—%), cHnAT—H), y: HEB(T —t)], Y—y=(T—t)filt +0 (T—t), .., 1.

Ces égalités subsistant quelque grand que soit le nombre des éléments dans lesquels on partage les intervalles (1, T), (t;, T), elles doivent

subsister pour les valeurs limites des quantités x;, y:, X, Y, c’est-à-dire que l’on a, en conservant à À, u, v les significations ci-dessus,

Fi(T)—Fi()=(T —4)fi [6 HA(T 6), Fit) HuA(T—6), F2(4)B(T—4)] FD) RD tp al AA TES)

ae AUS

Remplaçons t; par t, T par t — h, divisons par et faisons tendre h vers Zéro, nous aurons

lim Fi(t + : — F,(1)

ra F2(t + 2 — F:(t)

= fi [t, Fit), R2(t)],

= f2 [8 Fi(t), F:(0],

d’où l’on déduit sans peine que les équations (10) sont vérifiées par les valeurs x — Fi(t), y — Fa(t). |

430. Nous avons admis que les fonctions fi, fay fixs +. Vérifiaient certaines conditions de continuité dans une région de U limitée par les valeurs {, + à, %o Æ Aa, yo + Ba; mais on reconnaitra sans peine, en raisonnant comme au n° 468, que si ces diverses fonctions sont continues par rapport à {, x, y dans le voisinage du système de valeurs {5, %, Yo, il sera toujours possible de déterminer pour a, À, B des valeurs convenables, telles que, dans une certaine région qui s'étend autour du point (%, æo, Yo), toutes les conditions supposées dans la démonstration ci-dessus soient vérifiées. Il existera done, dans cette région, un système d’intégrales des équations (10) ou de fonctions #, y de t, jouissant de la double propriété de satisfaire à ces équations dans la région définie, et de se réduire respectivement, pour la valeur donnée t, de t, aux valeurs arbitrairement choisies z5, yo. On conclut de là 1° que dans toute région U des variables (4, x, y) où les fonctions fi, f2, fx .. restent continues et finies, le système (10) admet des intégrales; 2° que ces intégrales ne sont entièrement déterminées que si l’on assigne les valeurs %, Yo qu’elles doivent acquérir pour une valeur donnée t, de la variable, appartenant à la région U, en sorte qu’elles dépendent encore de ces quantités %, yo qui joucnt le rôle de constantes arbitraires. Ce sont là les intégrales générales dont nous avons admis l'existence au n° 483%; 3° enfin, on démontrerait par des raisonnements analogues à ceux du n° 464 que, si les conditions relatives à la continuité des fonctions fa, f2, .. Sont vérifiées, il est impossible de trouver dans la région U un deuxième système d’intégrales vérifiant les mêmes conditions, de satisfaire au système d'équations différentielles (10) et de prendre, pour une valeur donnée t, de t, des valeurs assignées d'avance x, et yo. En d’autres termes, toute intégrale doit être comprise dans le système des intégrales

générales, moyennant une détermination convenable des constantes arbitraires.

4%. La méthode exposée dans les numéros précédents pour un système de deux équations s’étendrait évidemment sans difficulté à un système composé d’un nombre quelconque d’équations différentielles du premier ordre, et conduirait à des conclusions semblables qui ont été énoncées au n° 43%. |

492. Il nous reste à déduire des théories précédentes les théorèmes concernant les équations différentielles d’un ordre supérieur au premier. Considérons une NIUE du second ordre à deux variables,

(18) = (au) -

On la ramène à un système de deux équations du premier ordre, savoir

d Go) Pr Re me CRU)

Si donc f désigne une fonction continue des variables x, y, y’ dans le voisinage d’un système de valeurs x,, y,, y, de ces variables, et s’il en est de même de ses dérivées partielles par rapport à y et à y’, en vertu des propriétés démontrées ci-dessus, il existera un système d’intégrales pour les équations (19), c'est-à-dire un système de fonctions y, y’ de t qui vérifieront ces équations et qui, pour æ = x, prendront les valeurs arbitraires y,, y,. Comme l'élimination de y’ ramène à l’équation (18), on en conclut que cette équation est vérifiée par une fonction y de x qui, pour la valeur donnée x, de x, admet des valeurs arbitrairement choisies pour elle et pour sa dérivée, et qui, par suite, renferme deux constantes arbitraires C, et C2 satisfaisant aux conditions du n° 416.

On ramènerait de même l'équation du troisième ordre.

dy dy d'y

(20) a D r(as ° x” dx:

à un système de trois équations du premier ordre dy ? d Ÿ 4 d fé ?

RCE) = y = (y 99"),

et on lui appliquerait les conclusions auxquelles nous sommes parvenus ci-dessus; on verrait que, dans une région où f (x, y, y’, y’) est fonction

continue des variables x, y, y’, y” ainsi que ses dérivées partielles par rapport à y, y’, y”, l'équation (20) admet toujours comme intégrale une fonction y de x telle que cette fonction et ses deux premières dérivées peuvent prendre des valeurs arbitraires 7y,,y,, y, pour une valeur donnée x, de la variable, dans la région dont il s’agit. C’est l’intégrale générale avec ses trois constantes arbitraires. Et ainsi de suite.