SUR L’EXISTENCE DE LA DÉRIVÉE DANS LES FONCTIONS CONTINUES

(Voir N° 76.)

La propriété, pour une fonction continue d’une variable x, d'admettre pour chaque valeur de cette variable une dérivée déterminée, continue elle-même en général, a été longtemps considérée commé une conséquence nécessaire de la continuité de la fonction. On a même essayé, à diverses reprises, d'établir cette proposition(1). Mais depuis que Riemann, dans son mémoire sur la série de Fourier (2), a prouvé la possibilité d'intégrer : une fonction discontinue qui vérifie certaines conditions, et que M. Weierstrass, dans son enseignement si profond, a donné plusieurs exemples de fonctions continues qui n’admettent pas de dérivée, on a dü abandonner cette opinion et de nombreux travaux des géomètres ont mis en pleine lumière ce point fondamental dans le calcul différentiel.

Nous nous proposons de donner ici une idée de ces travaux qui ont un rapport intime avec l’objet de ce cours, en résumant principalement le travail également remarquable par la clarté et par la rigueur que M. Darboux a publié en 1875, renvoyant pour les démonstrations au mémoire lui-même (3).

(1) V. Ampère, Journal de l’École polytechnique, XIIIe cahier, p. 148; LaManLe, Mémoires de l' Acad. de Belgique, t, XXIX; Pu. Girserr, Mémoires in-8° de l’Acad. de Belgique, t. XXII.

(2) Ueber die Darstellbarkeït einer Function durch eine trigon. Reihe; Abhand. der Gütting. Gesellschaft, t. XIII.

(3) Annales scient. de l’École normale, 2me série, t. IV, p. 57-112. — On peut consulter encore sur ce sujet : Bulletins de l’Acad. de Belg., 2ue série, t. XXXV, 1873; Scawarz, Mém. de la Soc. Helv. des sciences naturelles, 1875; F. KLein, Ueber den allg. Functions-begriff, Berichte d'Erlangen, 1873; nu Bois-Rermonn, Journal. de Borchardt, t, 79, p.21. —H. Hanxez, Ueber die unendlich oft oscillirenden und unstetigen Functionen, Tübingen, 1870. — Dani, Teorica delle funzioni di variabili reuli, Pise, 1878. — Wiener, Journul de Borchardt, t. XC, p. 222.

Dans cet écrit, M. Darboux envisage les fonctions, d’abord à un point de vue général, puis au point de vue de l’intégrabilité; il étudie ensuite les fonctions définies par des séries, et enfin les diverses classes de fonctions continues qui n’admettent pas de dérivée,

I. M. Darboux considère une fonction réelle simple f (x) (62), dans le sens le plus général; il donne de la continuité par une valeur x ou dans un intervalle (a, b) des définitions qui s’accordent avec celles que nous avons adoptées (@s). Il établit sur cette fonction les théorèmes que nous avons démontrés au Chapitre 1, plus le suivant :

Si la fonction simple f (x), continue ou discontinue, reste dans l’intervalle (a, b) comprise entre deux quantités fixes À et B, et si l’on divise cet intervalle en n intervalles plus petits d,, de, «… 0n, en représentant respectivement par Li, l;, A; la limite maæimum, la limite maximum et l'oscillation de la fonction dans l'intervalle Gi, les quantités

L=ZL ion Zlio A ZA to:

tendront toujours vers des limites finies et déterminées lorsque tous les à; tendront vers zéro, et ces limites seront indépendantes de la loi suivant laquelle les étéments às tendent vers zéro.

Soit A4 la limite de A; les fonctions discontinues se partagent en deux classes : celles pour lesquelles A4y —0, celles pour lesquelles A4 est différent de zéro. On voit d’ailleurs sans peine que, pour que Aup soil nul, il est nécessaire el suffisant que la somme des intervalles d; dans lesquels l’oscillation A; de la fonction surpasse une fraction donnée 5, quelque petite qu’elle soit, tende vers zéro lorsque n croît indéfiniment.

IT. De l’intégration. — Soit la fonction simple f (x), continue ou discontinue dans l’intervalle (a, b), mais dont la valeur absolue ne surpasse pas une limite fixe; #; une valeur arbitraire de æ appartenant à l'intervalle 3;. L’expression (80%)

E f'(&i) ds tendra vers une limite déterminée et finie lorsque les ô; tendront vers zéro, toutes les fois que Au» sera égal à zéro. Cette limite est l'intégrale définie de f(x) dx prise entre les limites a et b; on a

lim > f(Ei) à = (rm dx.

De là le théorème de Riemann : Pour qu’une fonction f(x) soit intégrable dans un intervalle (a, b), il faut et il suffit que la somme des intervalles à; duns lesquels l’oscillation A; de la fonction surpasse une fraction donnée 5, prise d’ailleurs aussi petite qu'on le veul, tende vers la limile zéro lorsque tous les intervalles dj tendent vers zéro.

Ainsi les deux classes de fonctions continues correspondent à la propriété d’être ou de n’être pas intégrables.

Ces résultats comprennent comme cas particuliers ceux que nous avons établis au Chapitre XXVI (3e5-303). |

œ L'intégrale définie \ f(x) dx est toujours une fonction continue de l’argument », et, a

elle a pour dérivée f(x), pour toute valeur de x pour laquelle la fonction f (+) est continue (344),

II. Séries absolument convergentes; séries équiconvergentes. Exemple d’une série non équiconvergente

n=0 Z [ntate-n*+° — (n+1) ae *z?] = ae”.

Démonstration II du n° 44. La série

sin æ + = sin 3x e sin 5x +...

dont la somme est r:4si0<x Lr,—m:4si—7 <x<o, zéro si æ —0, ne peut être équiconvergente dans un intervalle renfermant la valeur x — o. Lorsque f (x) est continue pour une valeur x de la variable, on a (63) f(x—0)= f(x) = f(x +o), mais il n’en est pas ainsi si la fonction est discontinue. Ainsi, représentons par E (x) le plus grand nombre entier contenu dans æ; siæ—n,n étant un nombre entier, on aura E(x+o)—=n—E(x), E(x—o)=n—1.

IL est des fonctions pour lesquelles f (x) existe, tandis que f (x — 0), f (x +- 0) sont indéterminés.

La série Le) = pi (œ) + ge (2) + + pe () + étant équiconvergente dans l'intervalle (a, b), si pour toute valeur de x > a et db, pn(x —0) et », (æ—+-0) ont des valeurs déterminées, les séries

Z on (x — 0) et 2 on (x +0)

seront convergentes dans l'intervalle (a, b) et auront pour sommes respectives f (x — 0),

Ainsi, si la série a, + @s — ++. + an +... — an est absolument convergente, la série E (æ E (2x E(nx fh= 0 +0, £ DEsnree «+ an : tee

sera équiconvergente dans tout intervalle et la fonction f(x) sera continue pour toute valeur irrationnelle de +. Mais pour une valeur rationnelle æ — p : q, on trouvera

Donc la fonction f (x) devient discontinue un nombre indéfini de fois dans le plus petit intervalle.

Autre exemple : désignons par (x) la différence entre x et le nombre entier qui s’en rapproche le plus, en sorte que (x), toujours compris entre — 1 : 2 et 1 :2, deviendra

indéterminé pour æ—n—+-,n étant un entier quelconque; dans ce cas nous lui

attribuerons la valeur zéro. La série

f(x) = a, (x) + aa (2x) + a3 (32%) + ++

sera équiconvergente dans tout intervalle, et l’on démontre {e que la fonction f(x) est continue pour toute valeur de x irrationnelle, ou rationnelle de la forme p : (2q + p); 2° que, pour toute valeur de x de la forme p :2q, on a

fa +0) = f{æ) — À (ae + dan sy + +)

f(æ — o) = f(2) + 2 (ao + Gao + Go + +).

IV. Toute fonction f(x) qui est discontinue, maïs qui, pour chaque valeur de x, admet des valeurs déterminées pour f(æ - 0) et pour f(x +0), est une fonction susceptible d'intégration.

Si les termes d'une série sont des fonctions continues ou discontinues, mais intégrables dans un intervalle (a, b), et si la série est équiconvergente dans cet intervalle, lu somme de la série est aussi une fonction intégrable et son intégrale est la somme de la série formée par les intégrales des termes de la première. La nouvelle série est équiconvergente dans le même intervale que la première (823).

Soit f(x) la somme d'une série dont les termes sont des fonctions continues admettant des dérivées. Si la série formée par ces dérivées est équiconvergente dans un inlervalle (a, b) et que ses termes soient intégrables, la somme de la nouvelle série sera la dérivée de f(x) (324).

Exemple : la série

Le 2[— orne ns? + 22 (n + r}* e7(r1) =°] = —2% 6°

est convergente dans l'intervalle (0. 1), et ses termes sont des fonctions continues de x; mais elle n’est pas équiconvergente. Si l’on intègre à partir de zéro, le premier membre donnera une série convergente ayant pour somme e-#?, tandis que l'intégrale du second membre est e-** — 1.