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surpasse tout nombre donné. On a donc

. Un+1 rie mini,

Cn+1

e étant aussi petit qu’on le veut. Donc, ns. grand que soit n, on peut faire croître p jusqu'à ce que, dans la série (y), la différence 5,3, — Sn diffère très-peu de l’unité, ce qui, en vertu du théorème II, montre que la série (y) est divergente. Le théorème est donc démontré.

Ainsi, de la série évidemment divergente

1Hitbrtit+.

on tire la série divergente I I T I — — — ...

. On démontrerait de même que, si s, désigne la somme des n 1 premiers termes de la série (y), la série qui a pour terme général w, : o, 0, converge ou diverge en même temps que la série (r), etc. On peut done, au moyen d’une série divergente, en former une infinité d’autres également divergentes, quoique le rapport des termes de même rang de deux séries consécutives ait pour limite zéro (1).

AO. Séries dont les termes ne sont pas tous de même signe. — Les séries dont tous les termes sont négatifs rentrent, au point de la convergence, dans celles que nous venons d’étudier.

Quand les termes sont affectés de différents signes la remarque sui-

vante est souvent utile : Une série

(x) Uy + Us eee un + est toujours convergente lorsqu’elle est absolument convergente. C’est une conséquence évidente du théorème IL.

Il suit de là que les règles de convergence données pour les séries à termes positifs s’'appliqueront aussi aux séries à termes positifs et négatifs.

(1) P. du Bois-Reymond a démontré un théorème en quelque sorte inverse du précédent, savoir que, si dans la série (1) supposée convergente on pose 8 — 5, —{»,

la série

Lot + PATATE sera encore convergente. Voir aussi, dans le Journal de Crelle, t. 76, un important mémoire de cet auteur sur la théorie des séries.

uns GÉUEeE

Ainsi, si le rapport w,,1 : w,, pris en valeur absolue, finit par rester plus petit qu’un nombre fixe k moindre que l'unité, la série (1) sera convergente, etc. Mais une série peut être convergente sans être absolument convergente, et voici quelques règles applicables à ces cas.

41. XI.—- Si les termes de la série (1) sont, à partir d’un certain rang, allernativement positifs et négatifs, et de plus constumment et indéfiniment décroissants, la série sera convergente.

Soit u, un terme à partir duquel ces conditions sont remplies. Nous aurons

Sn ip Sn = Un + Un+1 + ci + Unip—1 ET Le (ra — Vn+1 —- Vn+2 SAS ar Eu

r désignant toujours la valeur absolue de w,. Puisque l’on a ry © ruyr D l'age .., la quantité (ra — Tn41) + (rate — Tn+s) +:

est positive ; elle est moindre que r, puisque l’expression mettrais) (late Tats) ie

a une valeur négative. L'expression $,,, — s, ayant une valeur absolue comprise entre zéro et r, qui tend vers zéro lorsque n croit indéfiniment, tend elle même vers zéro quel que soit p; la série est convergente (29). On remarque que, si l’on suppose » fixe et p indéfiniment croissant, il résulte de la propriété ci-dessus que l’on a WA(s —s,) <r», donc, l'erreur commise en arrétant la série après le n*”°1erme est plus petite que

le terme suivant, en valeur absolue.

Le théorème XI prouve la convergence de la série

I 1i I I I Fe EMAIL M. re 13.

qui n’est pas absolument convergente (86).

On généralise ce théorème en observant qui si une série est composée de termes de signes variés, et si les valeurs absolues des groupes successifs formés par les termes positifs et par les termes négatifs décroissent constamment el indéfiniment, la série est convergente.

Car 1° la série qui a pour termes ces groupes successifs est convergente, d’après XI; 2° la somme d’un nombre indéfiniment croissant de termes de la série proposée ne peut différer, de la somme d’un nombre indéfiniment croissant de termes de la seconde, que d’une quantité inférieure, en valeur absolue, au premier groupe OS HISE et qui tend par conséquent vers zéro. |