V. Soit toujours
f(æ) = 9: (x) + pa (@) + + pn(x) +;
(eh) — (2), n(@ +0) — pn (2) h h
si la série
considérée comme fonction de h, est équiconvergente dans l’intervalle (0, h > o), on aura, en faisant tendre h vers zéro, An mt A re emma AC h
De même pour les valeurs négatives de h.
VI. Fonctions continues dépourvues de dérivées. — Les théorèmes précédents en fournissent autant qu’on veut. Soit f (x) une fonction continue, intégrable dans l’intervalle (a, b),a Lx € b, et
re | f(æ) dx.
Si f(x — o) et f (x + 0) différent l’un de l’autre, on aura (844)
) im TIRE (2 + 0),
F(x) n’a donc pas de dérivée pour cette valeur de æ. Soit, par exemple, la série
PROTEIN 0,
On trouve © TJ nxE(nx)
bu n= l — de — 2 SE [Eee Ê (æ) [ f(@) 4 Mat AUOT ND Le E (nx) “
et cette fonction F(æ) n’a pas de dérivée pour les valeurs rationnelles de x.
VII. On peut former une infinité de fonctions qui n’ont pas de dérivée sans faire intervenir l'intégration.
Exemple de M, Sohwarz. — Posons
p(x)=E(æ) +V/z—E(x) et soient a:, &2, .… des constantes positives, telles que Za, soit une série convergente. La série f(æ) = Zans (nx)
sera équiconvergente dans tout intervalle; la fonction f(x) est toujours continue et croissante, et l’on peut démontrer 1° que pour toute valeur rationnelle x —p : q on a, hk étant positif,
AREA M RM PASSE | ca h > An NU . hu h — © ;
il existe donc dans le plus petit intervalle une infinité de valeur de x pour lesquelles la dérivée est infinie; 2° que pour les valeurs irrationnelles de x, la dérivée est tantôt finie, tantôt infinie({).
Soit encore, la série Za, étant absolument convergente,
f(æ) = Za, sin5 nrx.
La série est équiconvergente et f (x) est une fonction continue dans tout intervalle. On
s'assure {° que pour toute valeur rationnelle de x, h étant positif ou négatif, l’accroissement de la fonction est de la forme (K + e) 5 ; son rapport à À change de signe avec h et
croit indéfiniment lorsque À tend vers zéro; 2° pour les valeurs irrationnelles de x, ce rapport a une limite, tantôt finie, tantôt infinie, Cet exemple (Hankel) montre qu'il y a des fonctions qui ne sont, ni constamment croissantes, ni constamment décroissantes, dans aucun intervalle quel que petit qu'il soit, et qui ont une infinité de maxima entre deux valeurs quelconques de x, si rapprochées qu’on les suppose.
La fonction
Sapin LR € f(&) = È — sin nræ sin - (I. sin? nxx) 1 AT 2
(1) Archives des sciences de la Bibl. universelle, sept. 1873.
admet, pour toute valeur irrationnelle de x, une dérivée déterminée, qui est la somme de la série formée des dérivées de ses termes; mais si x est rationnel, le rapport f(@ +4) — f(e) h ne converge vers aucune limite déterminée lorsque À tend vers zéro. En général, si + (y) est une fonction finie et continue dans l’intervalle (— 1, +1), sauf pour y — 0 où elle s’annule, la fonction f(æ) 2 SR (sin n7x) N=I n° pour toute valeur constante de 8 surpassant un certain nombre positif, aura une valeur finie, comprise entre des limites fixes, mais elle sera continue pour toute valeur irrationnelle de x, discontinue pour toute valeur rationnelle.
Si ? (y) est continue aussi pour y — 0 et admet une dérivée déterminée et finie dans l'intervalle (— 1, +1), pour s > 2 la fonction f (x) sera continue et aura une dérivée finie et déterminée dans le même intervalle. Mais si la dérivée de » (y) n’est pas déterminée pour y —0, et sis atteint une valeur suffisamment grande, la fonction f(x), tout en étant continue dans l’intervalle (— 1, + 1), aura une dérivée finie et déterminée pour toute valeur irrationnelle de æ, et n’aura aucune dérivée pour les valeurs irrationnelles (1).
VIIL, Enfin, M. Weierstrass (2) a trouvé un exemple très simple d’une fonction continue qui n’admet de dérivée pour aucune valeur de la variable.
Soit a un nombre entier impair, b une constante positive moindre que l'unité; la série
n—=© f(æ)=ÙŸ b"cosra"x n=0
est équiconvergente dans tout intervalle et représente une fonction continue de x. Soit ” un nombre entier arbitraire, x, un entier positif tel que l’on ait
I I — - GX — Am <= °* 2< CAN
Posons enfin
m1 LL Ye UH 2. ,
an
a" en sorte que æ' € x < x’’; on pourra toujours faire croître "” suffisamment pour que x — x’, x" — x deviennent moindres que toute fraction donnée. On démontre ensuite
que l’on a AC A te (re
mx
= (= Dai (2 + «
&eté” étant > 1, n et n’ compris entre — I et +1.
(4) Dani, ouvrage cité, p. 135.
(2) Abhandlungen aus der Functionenlehre, p. 98.
Si donc on choisit « et b de manière que l’on ait ab > 1 + È ,
les deux rapports ci-dessus resteront de signes contraires et leurs valeurs absolues croitront au-dessus de tout nombre donné, lorsque m croîtra indéfiniment et que par suite, & — x’, x" — x tendront vers zéro. Et comme x est arbitraire, il s'ensuit que pour aucune valeur de la variable x la fonction continue. f (x) n’admet une dérivée finie et déterminée, ni même une dérivée infinie de signe déterminé (1).
M. Darboux donne encore l'exemple remarquable qui suit: soit
