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? (y) = y" sin ; une fonction dont la dérivée est nulle pour y — 0, et égale à PL I 2y sin Fi cos 5

pour toute autre valeur de y. Si les constantes a, forment une série absolument con-

vergente la série [(æ) = Era, »' (sin nrx) cos nrx

sera équiconvergente dans tout intervalle, et la fonction f (x) sera discontinue pour toute valeur rationnelle de æ. On aura ensuite

2 a FE{œ) — f(æ) dæ => . (sin nrx), Oo n

et f(x) sera la dérivée de F (æ) pour toute valeur de æ. La fonction F (x) est donc continue ; sa dérivée est déterminée et finie pour toute valeur de æ, mais elle est discontinue pour toutes les valeurs rationnelles de la variable. On conclut de là qu’il existe des fonctions discontinues une infinité de fois dans le plus petit intervalle, et qui pourtant ne peuvent passer d’une valeur à une autre, dans cet HAS sans passer par toutes les valeurs intermédiaires.

(1) M. Wiener (Journal de Borchar dt, t. 90) a contesté cette conclusion, mais son travail renferme une confusion manifeste, comme l’a montré M. Weierstrass (AbAandl. aus der Functlionenlehre, 1886, p. 100).