LEZ D ÈT

Yas eee Ym-s

de la dérivée partielle

soit nul pour le système (S’). D'après cela, si les fonctions F,, …., F,, vérifient les conditions énoncées dans le théorème général, toutes ces conditions subsisteront également pour les m—1 fonctions fs fa, .… fm. Or, le théorème a été supposé vrai pour mm — 1, il s’appliquera done à ces fonclions; c’est-à-dire que les » — 1 équations

fi (æ, .…) Xn, Y159 y Ym=1) — 0, .… [nn 1 (æ, ..., Xn, Vas ..…., Yn 1)=0

définiront un système de m — 1 fonctions simples y;, ...,y»…, des n variables æ,, ..…., æn, qui prendront les valeurs respectives b,,..., b 1 pour &, =, .…., n — an, qui satisferont identiquement aux équations f, —0, .… f»1 — 0 et seront finies et continues dans

le voisinage de ce système, qui admettront enfin des dérivées partielles déterminées et continues par rapport à x,, .… æ,. Désignons par Yi = Pi (æ:, AU) na ND Ar à — Pan (@s, ss Ta) ces m — 1 fonctions; substituons-les à y,, …., y», dans la fonction ci-dessus Ym = P (io ve Un Yas see Ymni) 3 celle-ci sera transformée en une fonction Ym —= Pm (&i, .., Zn)

qui sera simple et continue par rapport aux variables x,,.. x, dans le voisinage du point æ, — «a, ... %y — an, Qui prendra la valeur b,, en ce point, et aura des dérivées partielles par rapport à ces variables. On voit clairement par là que le système de valeurs

Va pr (CR QLC Zn), cs) Um — Pm (æ, . Lm)

jouit de toutes les propriétés énoncées dans le théorème général, et que celui-ci est par conséquent établi.

EP