C. DE LA VALLÉE POUSSIN

On sait (862) que si f (x, y) est une fonction simple, finie et continue de x et de y dans une région déterminée T, le calcul de l'intégrale double (857) {à f(æ,y)aT se ramène à deux intégrales simples successives. Dans la plupart des traités d'analyse, on étend plus ou moins explicitement ce théorème au cas où le champs d'intégration est illimité et où la fonction passe par l'infini, pourvu que l’intégrale double ail un sens. Celte extension cest trop générale.

Pour montrer la marche à suivre, supposons que le champ T s’étende indéfiniment dans une ou plusieurs directions, On limitera par une ligne arbitraire (C’) une portion T’ de la région T et l’on fera varier cette ligne de manière que la portion T’ finisse par embrasser tous les points de la région T. Si l'intégrale (ee f(æ,y)dT’ teud vers une limite fixe, indépendante du contour arbitraire, cette limite est par définition la vaieur de l’intégrale Fe [(x,yÿ)aT, étendue à la région indéfinie.

L'intégrale ayant un sens, le contour (C’) peut être choisi de la manière la plus avantageuse au but que l’on poursuit. Dans l’étendue de la région T’, limitée par le contour (C’), la fonction restant finie et le champ d'intégration limité, lintégrale double s'exprime par deux intégrations successives par rapport à æ et y (862) ou par rapport à r'et 0 (86@@) (ou par rapport à d’autres variables); donc l'intégrale Ve f(x, y)aT sera la limite commune vers laquelle tendront les intégrales prises par rapport aux deux variables x et y, ou » et 6, lorsque le contour (C’) se développera indéfiniment.

C’est à la remarque précédente qu’il faut avoir recours, lorsque l’on doit calculer une intégrale double à champ infini, ou effectuer un changement de variable dans une telle intégrale.

Considérons, par exemple, le cas où la région T est étendue à la portion du plan comprise entre les axes des cordonnées positives. Choisissons d'abord comme région T' un rectangle indéfiniment croissant, formé sur l’abscisse OX = X et l’ordonnée OY— Y. Le raisonnement précédent montre que l'intégrale [4 /{x,y)dT sera la limite commune des deux quantités

[X Y YA x dx \ f(x,y) ay = \ dy\ f(x,y) dx, O O O O

quand X et Y tendront vers l'infini. Il ne s'ensuit pas cependant que l’on puisse toujours remplacer X ct Y par l'infini dans ces expressions, parce que dans l’une ou l’autre X ou Y tend vers l'infini sous le signe | :

AO