XII. — Si la série à termes positifs ou négatifs

(1) Uo + + Hu, + =Eu,

est convergente, el Sù &o, œ1,.,., Gn ... SOnt des quantités positives décroissantes, la série

(7) Goo + Qui + ++ nur He = E cts

sera convergenle (ABEL).

La série Zu, étant convergente, on peut supposer » assez grand pour que Un Unya + Hu, ait une valeur absolue moindre qu’une quantité arbitrairement petite €, quelque valeur qu’on attribue à p. Le lemme précédent nous donnera

VA (ontn an44 Uni ee 2 auyp Untp) < Ant, cc qui entrainera la convergence de la série (7). XIII. — Si la série à termes positifs ou négatifs Zu, est convergente ow divergente, sans que la somme s, des n premiers termes puisse jamais

surpasser un nombre fixe À, et si &o,c1, …, «, sont des quantités positives décroissantes et telles que lim o, — o, la série

n=AN

Goo + aiU: + + aus + …

sera convergente.

exo 2

On considérera encore la somme œuu, + ++ + œ;pun,,; les sommes Sn Snjty se Snjp AYant, par hypothèse, des valeurs absolues égales ou inférieures à À, les quantités

Un —= Sn+1 —— Sns Un +- Uni41 —= Sn+2 ne 8h) … Un —- Un+1 + ee — Un+p — Sn+p+1 on auront, quel que soit p, des valeurs absolues égales au plus à 2A. Il résulte donc du lemme que l’on a WA (anu» + Œn+1 Un +1 —- es —- Xn+p Unip) «Z 2Â On y quel que soit p. Si l’on fait croitre n indéfiniment, «, tend vers zéro par hypothèse, done la série (5) est convergente.

AB. Séries imaginaires. — Une série imaginaire est celle dont le terme général w, est une expression imaginaire p, +- q, ?. Soit s, la somme de ses n premiers termes,

Sn = (po + Qui) + (pi + qui) +++ + (pus + qn1t) (pop te pas) Æ (go qi + + qui) de Si, n croissant à l'infini, les séries réelles 2p,, Zg, sont convergentes et ont pour sommes respectives P, Q, on dit que s, a pour limite P +. Qu; la série imaginaire est convergente et a pour somme P + Qr. XIV. Une série imaginaire est convergente lorsque la série des modules de ses termes est convergente. Posons Un = Pn + Qui = Tr, (cos 0, — à sin 6,),

et supposons que la série à termes positifs ËZr, soit convergente. Il en résulte, d’après le théorème IV, que les séries

Zp, — "2", cos 0, 29: — 2r, sin 0,

sont convergentes, car cosô,, sin, ne peuvent surpasser l’unité en valeur absolue. Donc, d’après la définition ci-dessus, la série Zu, est convergente.

La réciproque n'est pas générale : une série imaginaire peut être convergente sans que la série des modules le soit. Mais lorsque cette dernière est convergente, la série proposée est dite absolument convergente.

XV. Lorsqu'une série imaginaire est absolument convergente, on peut intervertir arbitrairement l'ordre de ses termes sans que la série cesse d’être convergenlte el d’avoir la même somme.

La démonstration se fait exactement comme au n° 82 ; il suffit de remplacer le mot « valeur absolue » par le mot « module ».

A4. Combinaison des séries. — XVI. Soient Zu,, Zv, deux séries convergentes, réelles ou imaginaires, ayant pour sommes respectives s et t La série

(uo + vo) Æ (ui vs) + ee + (un Hu) He = Zur + 1) sera loujours convergente et aura pour somme S + {.

Soient 54, tn, S les sommes des x premiers termes des séries respectives Zu,, Zu», Z(u, + v,). On a

Sn = $n + ln

Mais «,, t, ont pour limites respectives, par hypothèse, s et &; donc(21)

on aura lim S,—5s+t.

n= ao

A5. XVII, Si les séries Zu,, Zv, sont absolument convergentes, la série Zu, vg formée par la multiplication deux à deux des termes des deux séries, pris dans un ordre arbitraire, sera convergente et aura pour somme s L.

Posons mod u, —T», mod v, —r,,

et supposons les séries Zr,, Zr, convergentes. Le nombre n étant choisi aussi grand qu’on le veut, on peut toujours prendre dans la série Zu,vs un nombre m de termes assez grand pour que tous les termes du produit

Sntn — (uo + ue ce uns) (Vo + vi + ee vs) figurent dans la somme $,, de ces m premiers termes. S,, se composera donc de ces n°? termes, et d’une série d’autres dans lesquels « ou v au moins ayra un indice supérieur à # — 1, en sorte que l’on peut écrire Sm — Snln = À (Un4avs + Ug! On+a’ ) a, , « B! étant des nombres entiers ou nuls. Soit # Ep le plus grand indice qui figure dans cette somme de termes. On aura évidemment

mod (Sy — suty) € Z (rater . r'aTnta!) < (fn Papa À ee EE ragp) (4 ETS He HE rnyp) + (ra ra He ruse) (ne na eee HE rusn)e

3 4 * Q , Q Q D'après l'hypothèse, pour n indéfiniment croissant, les sommes

Pat le He laps D Te He rep

UT

tendent vers des limites finies, et RE Pan Tnt HE Pugps Pa Tag He eee ap ont pour limite zéro. Donc on a lim(Ss — 5,4) —0n ou lim S, —5st. CRONPAD:

Le théorème s'applique aux séries réelles; les modules des termes se réduisent alors à leurs valeurs absolues.

Parmi les modes de groupement des termes, on considère surtout celui où l’on réunit les produits dans lesquels la somme des indices est 01,2, Ona: alors

St — U9Vo + (Uovi + Uavo) + (Uovaz H Wava + Uavo) ++. + (uoUs + WaUn 4 + te Uno He