EC

Les deux termes de ce rapport ayant pour limite l’unité, par hypothèse, le rapport a lui-même pour limite l’unité (22); on a donc

Vin ; =], d'où limp=yp,

ce que nous voulions établir.

Pour reconnaitre si le rapport de deux infiniment petits tend vers l'unité, on se sert souvent de la remarque suivante :

Soient «, «’ deux infiniment petits dont le rapport a pour limite l'unité; € une quantité comprise entre « et «”, en sorte que l’on ait

CPATA DATI

Divisant par «’ supposé > o, on aura (4 € Fee 7 PL et comme «: « est supposé tendre vers l'unité, il suit du principe V (n° 20) que € : «’ tend vers la même limite. On aura donc

RE ARE MN PE lim—=—1, lim-— lim ——1.

Si x’ était < o, les inégalités changeraient de sens, mais la conclusion subsisterait.

Par exemple, on sait que la longueur d’un arc moindre, qu’un quadrant est toujours comprise entre celles de son sinus et de sa tangente. Si donc à désigne un arc infiniment petit, on aura

tg « > à > sin «.

Mais

—limCoOs4— 7,

donc on a aussi

On pourra donc, dans un rapport dont l’un des termes serait +, sin «, tang «, remplacer ces quantités l’une par l’autre sans altérer la limite du rapport.

AS. THÉORÈME II. — La limite d'une somme d’infiniment petits de même signe, c1, +, .…, än, dont le nombre n croît indéfiniment, n'est pas changée lorsqu'on remplace ces infiniment pelits respéctivement par

RE et d'autres B4, Ba .…., Br, pourvu que les rapports B; : «; tendent uniformé- ; > Pn) [1 ment vers l'unité.

Nous entendons par là que, si l’on pose en général

on peut faire en sorte que tous les €; soient moindres simultanément, en valeur absolue, qu’une quantité arbitrairement petite donnée 5. On a en effet, dans cette hypothèse, d’après le n° 4

Ba + Ba + 2e Bu — (os + aa + eee Han) (anti + és + + + aus) — (eut aa tee on) (1 +0)

e étant une quantité moyenne entre E€4, €2, +. En, et, par conséquent,

moindre en valeur absolue que 5. De là

mme ou

donc, lorsque n croit indéfiniment, on a

NET PSE nn AA ME

ce qui exige Que &4 + à + ve Lo, et B, +- (BP + «+: + P, aient même

limite finie, nulle ou infinie,

Si l’une des sommes avait une valeur constante À, l’autre aurait pour limite A.

A9. THÉORÈME III, — Quand deux infiniment petits à el &’ ont pour limite de leur rapport l'unité, leur différence d est infiniment petite par rapport à chacun d’eux, et réciproquement.

En effet, l’équation d — à — à’ peut s’écrire