A) EE HE

le second membre a pour limite zéro, d’après l’hypothèse, donc aussi le premier, done d est infiniment petit par rapport à 4’ (46). On verrait de même que 9 : « tend vers zéro. Réciproquement, l’équation (A) montre que si d : & a pour limite zéro, à : « a pour limite l'unité.

Cette remarque permet d’énoncer les théorèmes I et IL sous cette autre forme : |

On peut, sans altérer la limite du rapport de deux infiniment petits,

el à} ue

négliger dans chaque terme de ce rapport une partie infiniment petite par rapport à lui.

On peut, sans altérer la limite d’une somme d’infiniment petits dont le nombre croit indéfiniment, négliger dans chaque terme une partie in finiment petite par rapport à lui.

On aura égard, dans ce dernier énoncé, à la restriction du n° 48.

L’utilité de ces théorèmes dans l’emploi de la méthode infinitésimale consiste, comme on va le voir, en ce qu’ils permettent de négliger, dans la plupart des cas, précisément les parties des infiniment petits qui font la difficulté du problème; et cela, sans que l’exactitude des résultats soit altérée. Nous allons donner des exemples des deux classes de problèmes auxquelles s’appliquent ces théorèmes. |

50. Le problème des tangentes aux courbes planes dépend de la limite d’un rapport d’infiniment petits.

Soit M un point donné sur une courbe plane ; MM” une sécante menée par ce point. Si, lorsque le point M’ se rapproche indéfiniment du point M, la sécante MM’ tend vers une position limite MT, cette limite des sécantes se nomme la fangente à la courbe au point M.

Appelons (x, y) les coordonnées du point M; x—h, y +k celles du point M’, s le coefficient angulaire de la sécante MM’,

Fig. 2. Tr celui de la tangente. On a VOGUE EYE

CO —= — t+h—x h | Quand M’ se rapproche indéfiniment de M, o a pour limite r. D’autre

part, k et k tendent simultanément vers zéro, mais leur rapport devra tendre vers une limite déterminée, et l’on aura (20)

ak L z —lim-:

(1) g Cr, het k sont ce que nous avons appelé des quantités infiniment petites.

L’équation de la courbe permet de trouver cette limite de k:h. Considérons la courbe donnée par l'équation

sin 2X —- sin 2y = 4,