a étant constant. Les coordonnées x et y du point M vérifieront cette équation ; celles du point M’ la relation
sin 2 (x + k) + sin 2 (y +4) — a.
Retranchant la première de celle-ci, et transformant les différences de sinus en produits, on a
2 sin h cos (2x + h) + 2 sin k cos (2y + k) — 0. De là sin & cos (2x + h) Sinh cos (y EE)
Ici se présente l’application du théorème I; k et k étant infiniment petits, on peut, d’après une remarque faite plus haut, remplacer sin k par k, sin par h, sans altérer la limite du rapport. On a ainsi
lim k in | cos (2x ] cos 2x
cos(2y +)
Tel est, d’après l'équation (1), le coefficient angulaire de la tangente à la courbe donnée, au point M (x, y).
54. Ce problème des tangentes nous mène à une question importante : l'équation (1) montre que la détermination générale de la tangente à une courbe dont l'équation est donnée, revient à la recherche de la limite du rapport # : h des aceroissements infiniment petits correspondants de l’ordonnée et de l’abscisse, à partir d’une valeur quelconque de cette dernière. Or, en vertu de l’équation de la courbe, l’ordonnée est une variable qui dépend de l’abscisse et est déterminée par elle; nous sommes done conduits à ce problème d’analyse :
Trouver la limite du rapport des accroïissements infiniment petits correspondants de deux variables qui dépendent l’une de l’autre, à partir d’une valeur quelconque de l’une d’entr’elles.
Ce problème fait l’objet du calcul différentiel.
62. Limites de sommes. — La mesure des aires des courbes planes offre une application du deuxième principe de la méthode infinitésimale. Soit ABMP l’aire à évaluer (fig. 5), comprise entre une courbe BM, l'axe des x et deux ordonnées AB, MP. Partageons cette aire en n segments par des parallèles mp, m’p',... à l’axe des y; l'évaluation de chacun de ces segments offrirait les mêmes difficultés que celle de l’aire totale. Supposons, pour simplifier, que l’ordonnée croisse constamment du point
