DORE ES

B au point M, et menons, par les sommets m des ordonnées, des parallèles mg à l'axe des x. L’aire du segment mpp/m' sera comprise entre celles des parallélogrammes construits sur la même base pp”, et sur les ordonnées mp, m'p' respectivement, aires qui sont entr’elles dans le même rapport que ces ordonnées. Si donc on peut faire voir que le rapport m'p’ : mp diffère de l'unité, quel que soit le segment considéré, d’une quantité moindre qu’une fraction arbitrairement petite e, lorsque n croit indéfiniment, il en sera de même, a fortiori, du rapport des aires mpp’m', mpp'q, et l'aire cherchée ABMP sera, en vertu du théorème IF, la limite de la somme des aires des parallélogrammes construits sur les ordonnées et sur les accroissements correspondants de l’abscisse.

Soit à chercher l’aire S de la courbe y = e” entre les ordonnées qui

Fig. 3.

répondent à x —a,x—b, et faisons b — a — na. Les ordonnées qui répondent aux abseisses a, a + «,. ., a + (n —1)« ont pour valeurs es esta... estin-D4, le rapport de deux ordonnées consécutives e* diffère de l'unité aussi peu qu'on le veut; la somme des aires des rectangles intérieurs sera

” [es + eatx - LES - ET SUR] =

d'ou

ert+ra — et a

CR

Mais, si l’on pose et— 1 —$f, d'où « — 1. (1 +6),

G sera infiniment petit en même temps que «, et l’on aura (23)

donc S — e? — es sera l’expression de’aire cherchée. La même méthode s'applique à d’autres courbes planes.

53. Remarques. — 1° Dans cette question, nous avons, sans altérer l'exactitude des résultats, remplacé les éléments de l’aire par d’autres plus simples, mais ceux-ci auraient pu être choisis différemment. Ainsi, nous aurions pu prendre, soit les parallélogrammes extérieurs, soit les