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trapèzes inscrits pmm/p’, etc. Il suffit toujours que la condition énoncée au N° 48 pour l’application du théorème II soit vérifiée.

2% Dans la mesure de l'aire de la courbe y — e”, nous avons été conduits à faire la somme des ordonnées des différents points de la courbe multipliées par l'accroissement infiniment petit de l’abscisse quand on passe d’un point au suivant, et à prendre la limite de cette somme. La même question se présenterait pour toute autre courbe. Donc, d’après l'observation faite au N° G4, nous sommes amenés à ce problème d'analyse :

Étant données deux variables x et y dont la seconde est déterminée par la première, trouver la limite de la somme des valeurs successives de y multipliées respectivement par les accroissements infiniment petits correspondants de x, celle-ci étant supposée passer d’une valeur a à une valeur b.

Ce problème appartient au calcul intégral, et offre avec celui du calcul différentiel, énoncé plus haut, une relation intime.

54. Longueur d'un arc de courbe. — La longueur de l’are d'une courbe donnée, plane ou non, entre deux de ses points, fournit un autre exemple de la limite d’une somme d’infiniment petits,

Les coordonnées x, y, z d’un point quelconque de la courbe étant censées exprimées au moyen d'une variable f, si A, B sont deux points correspondant aux valeurs {— «, t—6 de la variable, nous dirons qu’un point M appartient à l’are AB s’il répond à une valeur de £ comprise entre « et 6. Nous admettons, on verra plus loin sous quelles conditions cela a lieu, que l’on puisse inscrire dans l’are AB un polygone à sommets assez rapprochés pour que la distance de deux points quelconques de la courbe, compris entre deux sommets consécutifs, soit moindre qu’une quantité arbitrairement petite a. Nous désignerons par P, un polygone satisfaisant à cette condition, par II, son périmètre.

Soient MN, (fig. 4) un côté du polygone P,, R un point déterminé et fixe, pris sur l'arc sous-tendu par ce côté; à une quantité moindre que la plus petite des longueurs

MR, RNe, MR + RNo — MoNu

considérées sur chacun des ares sous-tendus par les côtés du polygone P.. Soit c une quantité satisfaisant à l'inégalité

ea

PVR —

et considérons la portion K.H:-.-MeN.-.. UV. du polygone P, comprise entre les points M, et N, : nous allons montrer que son périmètre est plus grand que M,N:.

Pour cela, prenons trois points E, F, G sur l'arc MR dont la: corde surpasse 9; menons les cordes; nous aurons

ME +EF + FG + GR > MR > d > 4c,

donc, au moins un des côtés de ce périmètre M.EFGR surpassera c; ainsi, il est impossible que le polygone P; n'ait pas plus de trois sommets entre M, et R, il en aura donc au moins quatre, ct de même sur l’are RN,, et sur tous Îcs autres arcs analogues du polygone P..

Observons maintenant que, la distance de deux points sur un arc sous-tendu par un côté du polygone P, étant <c, et 9>4c,ona

Fig. 4

MK + MR + RN, + VeNc < 0 ; d’autre part, on a évidemment MR + RNe<MKRe + : + MR HRN, +... + UV, + VoNe, et enfin, par hypothèse, À LMGR — RNa — MN.

Ajoutant membre à membre ces inégalités et réduisant, on a o € KHe +. LM, + NP +... HUV, — MN, d’où, a fortiori, en ajoutant le côté MN, Périm. KH +. MN: UVe > MON, ce qui démontre la propriété énoncée.

La même démonstration s'applique à chacun des arcs sous-tendus par les côtés du polygone P,, et l’on en conclut évidemment que l’on a, dans l'hypothèse 4c << 0, Ie > [ua

55. Il suit de là que si l’on attribue à a une suite indéfinie de valeurs a, a',a’”,.. ayant pour limite zéro, et suivant une loi quelconque, on

us p/ 0 Dee

formera une suite indéfinie de polygones P4, Pa, Par... dont les périmètres [l,, I, ., seront tels, que l’un quelconque d’entr’eux I[;, sera moindre que tous les termes qui suivent un certain terme Il, de la série. D’après une lemme établi (89), ces périmètres forment une suite tendant vers une limite déterminée ou croissant indéfiniment.

&6. Cette limite, finie ou infinie, des périmètres Il, ne dépend pas de la loi suivant laquelle a tend vers zéro. Imaginons, en effet, que deux * systèmes différents conduisent à des limites différentes L et L'. On formera un troisième système en combinant les deux premiers, c’est-àdire en considérant une série de polygones inscrits dans laquelle Ia valeur de a serait empruntée alternativement au premier et au deuxième système. Le raisonnement fait plus haut montrera qu’à ce troisième système correspondra encore une limite L/, finie ou infinie, pour les périmètres inscrits. Or, il est impossible qui cette limite L’’ diffère de L, puisque les polygones qui conduisent à la limite L font tous partie de la troisième suite; ni de L’, pour le même motif. On a done L — L'— L”’.

Nous conclurons donc que si, dans un arc de courbe AB, on inscrit une série de polygones dont les côtés décroissent indéfiniment, les périmètres de ces polygones inserits tendront vers une limite finie L, toujours la même, ou croitront indéfiniment.

Dans le premier cas, L est ce qu’on nomme la longueur de l’arc AB; dans le second, cet are a une longueur infinie.

53. La méthode des infiniment petits s'applique de bien des manières à la solution des problèmes de géométrie, et nous en donnerons comme exemple la recherche de la tangente dans un cas où la méthode du n° 50 ne s’appliquerait pas. :

Un angle constant A se déplace, ses côtés CT reslant toujours tangents respectivement à deux courbes données (C) et

(C’) (fig. 5). Son sommet décrit une courbe © à luquelle on demande de mener la tangente.

Soient À, A’ deux positions infiniment voisines du sommet de l'angle; M, M’ les points de contact correspondants sur (C); P, P’sur (C'); T, U

° . Q , les rencontres des tangentes infiniment voisines. Les triangles ATA’,

RD ee

AUA’ ont, comme on le voit facilement, des angles égaux en T et en U, ce qui donne les égalités sin AAT sinT sinU sin A’AU UE VU VUE Ur à Désignons par « et 8 les angles que font les tangentes AT, AU avec la direction AA’ considérée à la limite, c’est-à-dire avec la tangente cherchée à la courbe 2 en A.

On reconnait sans peine que

lim AAT — a, lim A’AU — f, lim AT — AM, lim A’U — AP,

et l’on a, par suite (26, IV) sinx sinf AM AP

Mais le triangle MAP fournit la relation sin APM sin AMP AM NBA

et comme la somme des angles & et (3 est la même que celle des angles APM et AMP, savoir, le supplément de l'angle A, on en conclut que l’on a

a — APM; 5—AMP;

car on sait que deux angles dont la somme donnée est moindre que 180° et dont les sinus sont dans un rapport donné, sont déterminés.

Il est donc facile de construire la tangente à la courbe Z d’après ces relations. De plus, on voit par là que la tangente cherchée est en même temps la tangente au cercle circonscrit au triangle MAP. La normale en A à la courbe Z passe done par le centre de ce cercle, ou par le point de rencontre des perpendiculaires aux milieux de AE ct de AP; elle passe donc aussi par le point de rencontre K des perpendiculaires en M et en P aux tangentes AM, AP respectivement, ce qui conduit à une construction fort simple.

58. Des divers ordres d’infiniment petits. — Ces applications de la méthode infinitésimale aux questions de géométrie sont facilitées par la considération des infiniment petits d’ordres différents, basée sur les limites de leurs rapports mutuels.