RER ARS

Deux infiniment petits sont de même ordre lorsque leur rapport tend vers une limite finie différente de zéro.

Généralement, dans une question, on choisit un infiniment petit principal « auquel on rapporte les autres, et si r désigne un nombre entier ou fractionnaire, tout infiniment pelit p dont le rapport à «' tend vers une limite finie k différente de zéro est dit un infiniment petit de l’ordre r. On a donc

lim #4, d'où p—a(k+o),

« désignant une quantité qui tend vers zéro en même temps que «. Telle est la formule générale d’un infiniment petit de l’ordre r.

Sir=— 1, pest de même ordre que «.

59. Les propriétés suivantes sont souvent utiles. Soient p, p’, p'’, … des infiniment petits d'ordres r, r”, 2”, .. par rapport à «; supposons r LT. TI €...

4° La somme p + p +0" +: sera,un nouvel infiniment petit de l’ordre r, car on a

pH EH eee = arf + à) + a" (R a) 77 (En),

‘et la limite du rapport de cette expression à a’ est &, x", æ"//-r,,., ayant pour limite zéro.

2° Le produit pp’ est un infiniment petit de l’ordre r +-r', car pp ip vp" artr/ a” a”!

a pour limite (24) kk’, quantité finie différente de zéro. On en déduit

facilement que op’ p’” est de l’ordre r + r’ +r’’, et ainsi de suite. 5° Le rapport p’: p est de l’ordre r’ — r, car on a

p' a’! (k’ + (2) : k' - AU

a (ht ’

p of (k + w) k + o et ce dernier facteur a une limite finie k’ : k. On voit par là que, de deux infiniment pelits p et p’, celui qui est de l’ordre le plus élevé est infiniment petit par rapport à l’autre, et que, par suite, t{ finit par avoir constamment une valeur absolue plus petite que celle de cet autre.

4° Si l’on prend un nouvel infiniment petit principalG, de même ordre