DÉRIVÉES ET DIFFÉRENTIELLES SUCCESSIVES

95. Soit y — f(x) une fonction de x, f’(x) sa dérivée qui est, en général, une fonction de x. Si elle est continue et si elle admet une dérivée, on appelle celle-ci la dérivée seconde de f (x) et on la représente par f/’ (x). Si f”’ (x) admet à son tour une dérivée, celle-ci sera la dérivée troisième de f(x) et s’écrira f’/’(x), et ainsi de suite. On emploie aussi les notations

Dy, D°y, D5y, …, D'y.

La définition de la différentielle d’une fonction entraine les équations Go) df@)= (dx, df(n=f' (dr, df'(@)=f" (de,

On appelle différentielle seconde de y la différentielle d?y de sa différentielle dy; différentielle troisième la différentielle d5y de d?y, et ainsi de suite. Comme dx est arbitraire, on peut le supposer indépendant de x et l'on a, en appliquant les règles de différentiation et ayant égard aux relations (x),

dy = f(x) dx, d'y = d.f’ (x) dx = f' (x) dx’, dy = d.dy = d,f'!(x) dx = f(x) dxs, "etc.

et en général dy = [" (x) de”, d’où l’on tire | 2 n () pe, po. pt,

dx?

c'est-à-dire que la dérivée ne d'une fonction est le quotient de sa différentielle ne par la puissance n°" de la différentielle de la variable, prise comme constante. Ce qui fournit une nouvelle manière de représenter les dérivées successives.

96. La dérivée ou la différentielle d’une fonction explicite de x, obtenue par les règles du Chapitre IT, se présentant comme une nouvelle fonction explicite, sa dérivée s’obtiendra par les mêmes règles, et ainsi de suite. Nous effectuerons ce calcul pour quelques fonctions élémentaires.

Ze 4 =

J, On a trouvé d.x® — ax2=! dx; a et dx sont constants, donc d'.x= a (à — 1) 2 * dx?, dx = a (a — 1) (a — 2) x°-5 dx, et en général d".xt — a(a —1)...(a—n—+ 1) x"dx", ou encore