EE

D’ = dx” == a (a — 1) Lan (a — n—- 1) an,

Si a est entier et > o, cette dérivée se réduira à la constante a (a —- 1)... 2.1 pour n = a, et les dérivées d'ordre supérieur à a seront nulles. Cette remarque s'applique à toute fonction entière de x, de degré a.

II, De l'équation

feu Le ele

on tire immédiatement par la règle ci-dessus

d' É TL — (de # ae) ds = (-— 1) (— 2) TE (— ñn + 1) x "dx" ou \ d'l.x

ny de2e (— 1) EE DATI EE

Pour avoir D’ log x il suffira de multiplier par le facteur constant T4 II, La formule d.A*— A: 1. Adx donne, 1. À et dx étant constants, DIAMETAS (PANTIN NArAU=;A (LA) dr", d’où 3 DEA AS LEA)" et si À — e, | Diese" IV. On a trouvé

d. sin x — cos xdx — sin (:+°) dx.

11 suffit donc, pour différentier sin x, d’ajouter un quadrant à l'arc et de multiplier par dx. On déduit de là immédiatement

DSP (= + Hu

ErÔODE— et de même

nt d" cos x = cos ( + =) dx".

En divisant par dx", on aura les dérivées correspondantes. V. Soit y = arc tg x, d'où x—=tgy;ona

dx 1

= , — 2 Her dy — cos? ydx, Puis dy = — 2 cos y sin ydydx — — cos? y sin 2ydx?, dy. 2 (cos 2y cos y — sin 2y sin y) cos ydydx?= — 2 cos y cos 3ydx,

d'y = 2.3 (sin 3y cos y —- cos 3y sin y) cos? ydydx* — 2.3 cos" y sin 4ydx",

et l’on voit sans peine que, en général, re T d'y=1.2...(n — 1) cos" y sin y + n =) Remplaçant cos y par sa valeur en x, on a enfin

F 1.2...(n— 1), T | arc tg x — 2 a ñ ' —- arc tg x |}:

Ga)! 97. Formule de Leibnitz pour la dérivée n'°”° d’un produit. — Soit uv le produit de deux fonctions de x; on a trouvé D. uv — vDu + uDv, et en appliquant la même règle à cette équation, on aura D? uv — vD?u + DuDu + DuDv + uD°v, d’où D? . uv — vD°u + 2DvDu + D’v : u; de même D5 . uv = vD5u + 3DuD?u + 3D°vDu + Dôv : u, et en général, en montrant que si la règle est vraie pour D"! . uv, elle est vraie pour D’.uv, n(n — 1)

(3) D'uv — vD'u + nDv: D'-!u + rs

D?v : D'u +... + D'ou: u.

Cette équation peut s’écrire symboliquement D'uv — (Du + Dv)',

pourvu qu'après avoir développé le second membre par la formule du binôme, on change les exposants de Du, Dv en indices de dérivation.

one

98. Cette formule de Leibnitz s'applique souvent pour former une relation entre plusieurs dérivées consécutives d’une même fonction. Soit, par exemple.

y — cos (m arc sin x).

On reconnaît que, dans l'intervalle (— 1, +1) de x, les dérivées successives de y existent.

Posant arc sin x — z, d’où x — sin z, y == cos mz, on tire de la règle des fonctions de fonctions

m sin mz 2 m COS MZ COS Z —- Sin MZ sin Z

D,y = — ————— ; DR GE = D’

COS Z cos ou, en remplaçant au second membre, Cny A of = D,y LS ue S 202 T — x? Mises D:y; d’où l’on tire (1 — 2°) D?y — xDy + m'y = 0.

Le premier membre est une fonction de x dont la valeur est constante, puisqu'elle se réduit à zéro ; sa dérivée n°”, que nous formerons par la règle de Leibnitz, sera donc nulle, ce qui nous donne

(1 — x?) D'2y — 2nxD"Fty — n(n — 1) D'y — xD'Fty — nD'y + m°D'y — 0, (1 — 2°?) D'2y — (2n + 1) xD" y + (mm? — n°) D'y = 0.

Cette relation entre trois dérivées consécutives facilitera le calcul de ces dérivées, en particulier dans le cas où x — o et où l’équation se réduit à D'E2y = (n° — m°) D'y d’où l’on déduit facilement, Dy étant nul et y égal à r pour x — 0,

D'y—=—m, Dy—=o, D'y——m?(2 — m°), D'y = 0, Dôy = — m° (2 — m°) (4? — m°), etc.

99. Des différences successives. — Pour un accroissemnt Ax — h de

la variable x, la fonction y — f(x) reçoit un accroissement

Ay = f(x + h) — f(x),

qu'on nomme aussi sa différence première. Un nouvel accroissement h; donné à x détermine dans la fonction Ay un accroissement A (Ay) — A°y

OU

qui est la différence seconde de y, et ainsi de suite. Si l’on suppose ki — h; on à

Ay = f(x + 2h) — 2 f{e +R) + f(x);

À5y = f(x + 3h) — 3f (x + 2h) + 3f (x + h) — f(x), ete. et il existe une relation importante entre ces différences successives et les dérivées de f(x) supposées déterminées dans le voisinage de x. Posant

fe +R) — f(x) = 9 (x),

on a My=q(x+h)—p(x)=hg (x + 06h),o KB <1.

Or, on a v@)=f(x+h)— f(x), donc |

y = h if" (œ + 6h +R) — f' (+ Oh) = R9 f°' (ù + 6h + Ou), 61 étant aussi compris entre zéro et l’unité. On verrait de même que A5y = 15 f!!" (x + 0h + d1h + Oh), o € 0: < 1, ete. On conclut de là que, si h ou Ax a pour limite zéro, ona

AE 3) RS PL ET) lim is = f(&), im = f(x), etc.

Exercices.