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I. Soient f(x), F (x) deux fonctions continues de x ayant une dérivée; si f(x), F(x) s’annulent pour x — a, et si le rapport f! (x): F' (x) tend vers une limite À lorsque x tend vers la limite a, sans que F’ (x) change de signe, le rapport f (x): F (x) aura la même limite A.

Pour fixer les idées, supposons que x tende vers a en croissant. Étant donnée une quantité arbitrairement petite €, on pourra déterminer un intervalle (a — 9, a — o) dans lequel on aura constamment.

f(x AT RS Az, et comme nous pouvons regarder F’ (x) comme positif dans cet intervalle (puisque l’on peut changer les signes de f et de F ensemble), on aura

f()—(A+e)F'(x) Ko, f(x) —(A—:)F (x) > 0.

La fonction continue f(x) —- (A + €) F (x) dont la dérivée est négative décroit constamment (88); elle est nulle pour x — a; elle est donc positive dans l'intervalle (a — 9, a — 0). On voit de même que la fonction

f(x) — (A — €) F (x) est toujours négative dans ce même intervalle. Ainsi l’on a "

f@)—(A+9F (x) > 0, fr) —(A— 0) F (x) < 0; d’où, divisant par F (x) qui est négatif [car F (a) — o et F’(x)est > o], on à

f(x) __ f& FT) A on

Le rapport f(x) : F(x) finit donc par différer aussi peu qu’on le veut de A, pourvu que l’on prenne d suffisamment petit, C. Q. F. D. La démonstration se ferait de la même manière si « tendait vers a en décroissant : on considérerait l'intervalle (a + o, a + 0).

Par exemple, la fonction

sin x

O , LT e prend la forme — pour x — 0. On a done, en vertu du théorème ci-dessus, aix

ee eine LOUIS a—1b1.(5)

x=0 SIn X cos x