Remarques. — 1° Le théorème I reste vrai même lorsque

AL: | nes

À = + oo, c’est-à-dire lorsque le rapport f” (x): F’ (x) croît indéfiniment, æ ayant pour limite a.

Soit À — + , et G un nombre aussi grand qu’on le veut. On aura, dans un intervalle (a — 9, a — o}, f' (x): F’ (x) > G, d’où l’on déduira comme plus haut

f(x) —GF'(x) > 0, f(x) —GF (x) <o,

et par suite f(x): F(x) > G.

20 Le théorème I est vrai aussi pour a—, c’est-à-dire que, si f' (x): F’(x) tend vers une limite À lorsque x croît indéfiniment, f(x): F(x) tend vers la même limite A.

En effet, pour toute valeur de x supérieure à une valeur X, on aura comme plus haut, € étant arbitrairement petit et F’ (x) restant toujours de même signe,

RCA EE) TOC) ES 0 RS GAS) RU()E #0; d’où l’on conclura encore

æ étant > X; d’où l’on verra enfin que l’on a

f(x) A € 4 F (x) 4 À Ar. €, c’est-à-dire que f(x) : F(x) finira par différer de A d’unc quantité moindre que toute grandeur donnée.

402. Si f’ (x), EF’ (x) étaient nuls aussi pour x — a, le théorème I ne ferait plus connaître directement la vraie valeur de la fonction f(x) : F(x),

° , . . A O . 0 puisque À se présenterait lui-même sous la forme —. Mais en appliquant e)

A L4 nl Q Q 0 O ce même théorème à la fonction f”(x) : F’(x), qui affecte aussi la forme; 0)

on en conclurait que si le rapport f”’ (x) : F’’ (x) tend vers une limite A, il en est de même du rapport f” (x) : F’ (x) et par suite du rapport proposé. Et ainsi de suite, si f’’ (a) — 0, F’’ (a) — 0... Exemple. La fonction CCE A2