THÉORÈME VI. — Deux séries potentielles

(3) Go + x — aex? + +, bo + dix + Dex? +. .,

ordonnées suivant les puissances d’une même variable x, et dont les sommes sont égales pour toute valeur de x qui assure la convergence des séries, sont identiques terme pour terme.

Soit (— p, + p) un intervalle dans lequel les deux séries (3) soient convergentes. Les sommes des deux séries seront des fonctions continues de x dans cet intervalle.

Faisons tendre x vers la limite zéro ; la première somme aura pour limite &, la seconde b:; donc, ces sommes étant constamment égales, on aura (20)

do — bo.

Retranchons des sommes ao aix + ax? —E + + et bo bix ban? +...

respectivement ces quantités égales, et divisons par x, nous aurons

di — aox + asxt + = bi + bar + bsx? +

Faisons tendre x vers zéro et appliquons le même raisonnement, nous aurons O1 — bs, et ainsi de suite. On aura, en général, a, — b,, et les deux séries sont identiques.

I] suit de là qu’une fonction f(x) ne peut être développée en série potentielle que d'une seule manière.