S 2. FORMULES DE TAYLOR ET DE MACLAURIN

426. La formule de Taylor a pour objet le développement d’une fonction de x h en série convergente ordonnée suivant les puissances de À.

La fonction f(x) étant supposée continue ainsi que ses n—1 premières dérivées f” (x), f’’ (x), .… f"-‘(x) dans un intervalle (a, b), tandis que la dérivée n°” f" (x) est simplement déterminée dans l'intervalle (a +0, b—-- 0), posons b — a + h et développons /f{(b) suivant les puissances entières de k comme si f(x) était une fonction entière de degré n — 1, en complétant l'égalité par un terme R, — h?P, où p est supposé > oet € n, tandis que P est une quantité inconnue à déterminer. Nous aurons donc

(3) AO) AMG) EP) ee OP

Pour déterminer P, désignons par x une quantité qui varie dans l'intervalle («, b) et posons

p (x) = (a) + (b— a) (9 + PET ae RE de br)

On verra immédiatement 1° que o (x) a une dérivée déterminée dans l'intervalle (a + o,b — o), en vertu des propriétés attribuées à la fonction f(x), et que cette dérivée se HPLE P étant indépendant de x, à

À sed x)" b >

Tr ai (x) — p(b— x) 2° que pour x — a, on a, à cause de b—a—h et de l'équation (A), p(a)== f (b); 5° que pour x —b on a o( b) — f{b), donc

fr (@) + (b — ap

Appliquons le théorème de M. O. Bonnet, et désignons par 9 une quantité inconnue > o et < 1; nous aurons g” (a +- 0h) — o, ou, d’après la valeur de æ (x),

Pt te a - Oh) — phe-t (1 —0ÿ-1P—0, 1.2..(2 —1) ce qui donne pour l'expression du terme complémentaire PP, (1) R, — Date jrs f(a+ 0h), (0 <0<1).

Cette quantité R, est ce qu’on nomme le reste de la série de Taylor. On se sert surtout des deux cas p — n, p — 1, qui donnent les formules particulières

(2) Re, = fn (a + 6h),

hr (x — 6)!

La quantité 0 reste inconnue, elle dépend de n et n’a pas la même valeur dans les formules (2) et (3), mais elle est toujours > oet < 1. Si l’on remplace b par a +- h, l'équation (A) deviendra

flan) = F(@) + hf (a) + fr (0) + (4) hr-1 Ar .2...(N — NE EE

Supposons maintenant que l’on attribue à n des valeurs indéfiniment croissantes, et que, d’une part, les conditions imposées aux dérivées successives de f(x) ne cessent pas d’être remplies; d’autre part, R, ait pour limite zéro. La somme des # premiers termes du second membre de l’équation (4) aura nécessairement pour limite f(a + h), en sorte que l’on aura le développement cherché de f(a h) en série convergente suivant les puissances entières, positives et croissantes de À. C’est là proprement la série de Taylor.

127. Remarques. 1° La fonction f(a—-h) ne peut être développée en série suivant les puissances entières de h que par la formule (4), d’après le théorème du N° 445.

2° La série indéfinie de Taylor ne peut être employée qu'après qu’on

pour des valeurs indéfiniment croissantes de #, WA fn (x) finit par rester moindre qu’un nombre fixe À dans l'intervalle (a, «a + h). En effct, on a remarqué (442) que la série

est absolument convergente pour toute valeur de h, son terme général tend donc vers zéro, quel que soit k, lorsque n devient infini. Donc

2 nn