VAR, < WA A

aura pour limite zéro.

5° Si l’on sait déterminer la limite maximum A et la limite minimum B de la fonction f" (x) dans l'intervalle (a, b), on aura

RNZ (a — 2); 102%. MEL. 2..07

on connaîtra donc deux limites entre lesquelles est comprise l’erreur que l'on commet en arrêtant la série de Taylor après le n°?” terme.

AS. Série de Maclaurin. — On écrit la formule de Taylor sous diverses formes. En représentant la fonction f(x) par y, en marquant par l'indice la valeur de la variable à laquelle la fonction se rapporte, on a

jun (E) it (Ou) +. +). rT

+ GUUR —

Si, dans l'équation (4), on remplace a + h parx, k par x — a, elle devient

ui {' (a) +.

| fe) = f (a) + (& — 0) P{a) + LTD (6) AA D

et si l’on choisit comme cas particulier a = 0,

NA Fo)+af(o)+ = f'o)+ re

ere Ce

Cette formule est celle de Maclaurin, ct d’après les principes sur lesquels elle est fondée, elle suppose 1° que f(x), f” (x), .… f"—! (x) soient des fonctions continues dans l’intervalle (0, «); 2° que f" (x) soit déterminée dans l'intervalle (Ho, x —o), si x > o. Elle sert au développement de f (x) en série suivant les puissances acendantes de x,

à la condition que l’on ait lim R, — o. Or, l'expression de R,, déduite n = ©

des formules (2) et (3) en faisant a — 0, h — x, sera

x" (@) ce (Al ou 9) X(r — n—1 (9) he NS (nt) f" (Ex).

On emploie l’une ou l’autre forme suivant les cas. Les remarques faites plus haut sont applicables ; ainsi R, tend vers zéro lorsque VA f(x) est constamment moindre qu'un nombre fixe dans l'intervalle (o, x); le développement n’est possible que d’une seule manière, etc.