V 3. APPLICATIONS

419. Posons f(x) — A*. D’après la formule connue (98, III), on a f" (x) — A* (1. A)". La fonction et ses dérivées jusqu’à un ordre quelconque sont continues dans tout intervalle. Les formules (7) et (8) donnent

A—1Lxl. RReAtes Es nn Re

(n— 1) 1.2...n D’après la remarque faite, (x 1. A)" : 1 .2 ... n a pour limite zéro quand x devient infini; A®* a une valeur comprise entre o et A; done lim R, = 0, et l’on a en série convergente, pour toute valeur de x,

Leu lon à pee ARE au

AE Si l’on prend À —e,;onal. A—7ret

—i+r+— er +.

Pour x — 1, on en déduit cette série propre au calcul du nombre irrationnel e :

ae 2. Le FER er

120. Pour f(x) = sin x on a f" (x) — sin (: + 2), dérivée tou-

jours continue et numériquement € 1, quel que soit ». La formule de Maclaurin s’applique et l’on a 12 œ x?