MAD

222. Si, dans cette formule, on change x en — x, on a la suivante, valable si WA x < 1 :

d’où, retranchant, | 3 6) L(i+zx)—1L(i—x)—1l. = 2 (EE).

Posant

TEEN LES 1e d'où. — EN CNE

et supposant p, q choisis de facon que l’on ait Wx<1, on pourra appliquer cette série et l’on aura

ur CE) +]

Si p — q est très petit et p + q très grand, la série convergera rapidement. Ainsi, pourp=2,q{—1,0na

Te fe te S+- +).

Pour p — 128, q —125,0na

F 3 ÊTE Lr DE ) et comme |. 128 — 1. 27 — 71, 2, on en tirera la valeur de 1. 5. Er ainsi de suite.

On passera de ces logarithmes népériens aux log. vulgaires en les multipliant par (l. 10)-' dont la valeur est fournie par la seconde des séries précédentes.

123. Formule du binôme. — Proposons-nous de développer par la formule de Maclaurin la fonction (1 + x)", m étant une constante réelle quelconque. On a done

fe) = Ga), fe) = me (1 9, P (= me (ie — 2) (1 a), f(x) mm—i)..(m—n+i(G +).

Toutes ces dérivées sont continues dans l'intervalle (— r 4-0, æ ). On a done, par la formule (7), (a) (Ha) = mat ——— Eu À a+. Pet HR.

Désignant par w, le terme qui en a # avant lui, on a

Un+1 NN — nn I L. Un1 7" — Hrcdmes L, lim lbs Un n n—=0o Un

Donc (49) la série est convergente si Ax < 1, divergente si Ax > 1. Dans le premier cas, on a par la formule (9) rie 0 NAS = a m(m—1)...(m—n—+}1) (1 + 0x)"-"