Si l’on pose enfin f(x) = arc tang x, on aura

LR Ur f(x) — 240 sin n (© — arc tg «) (1 + a) et par suite HO OR AO) Er, Mo) 0 ONE x 73; 01 d’où x$ x? x2i+1 BEBE Denon ete 2m DAT ELLE La série est convergente si WA x < 1, divergente si A x > 1. Dans le premier cas on a, par la formule (8),

ax? Te2 ee (1 —

pm no Pr (Ur III n (2 + are tgôx) PAU

x" cos (n arc tg Üx)

On a évidemment lim R, — 0; la somme de la série est donc égale à

n = 0 arc tg x, Pour x — 1, T TT ET = |] — + —- 4.

4 3710587 On se sert, pour le calcul numérique de 7, d’une série plus convergente, en posant

arc t ; : 4 CR Do AR EU 51004 |

d’où l’on tire

T (RATE TNT 20 LD { — ns cd a —— ———————— 4 cb 1C 2) (g4z 1 120+ 119

car, en calculant tg 4z en fonction de tg z, on trouve tg 47 — 120: 119. On a donc

tg u : = arc t < arc :

ere Re ES ne 230 re) Ne ° 239

d’où enfin, par la série ci-dessus,

TRE É I I | I I dE I ) A ET NC 239 3-+239° 5-239°

425. L'emploi de la formule de Maclaurin exige que l’on vérifie si lim R, — o, ce qui présente des difficultés à cause de la formation de

n = © la dérivée ne, Aussi a-t-on recours à divers artifices.

Si l’on sait d'avance, par un moyen quelconque, que f(x) est développable en série potentielle, le développement devra coïncider avec celui que fournirait la formule (7). On se bornera à former les coefficients des puissances de x, soit par la méthode des coefficients indéterminés, soit par le calcul de proche en proche de f (0), f’ (o), f'' (o), .…; par exemple, comme au N° 98. |

Pour développer une fonction composée, comme une somme, un produit, il sera souvent plus simple de développer chacune des fonctions dont elle se compose et de combiner les séries. Soit à développer, pour xæ > —1ret < 1, la fonction

ER: x) 1 x

On a, dans cette hypothèse, d’après les N°: 424 et 128,