CHAPITRE VIT

APPLICATIONS ANALYTIQUES (suile), — MAXIMA ET MINIMA DES FONCTIONS D’UNE SEULE VARIABLE.

426. On dit qu'une fonction simple f(x) de la variable devient maximum pour une valeur a de x, lorsque, pour toute valeur de x dans un intervalle déterminé ‘(a — €, a He), on a constamment f(x) < f(a); ou, pour toute valeur de h numériquement moindre que €, f(a + h) — [(a) < 0, quel que soit le signe de h.

Si,au contraire, on avait /(a—-h)—f{a)> o, on dirait que f(a) est un minimum de la

Fige 7. fonction. Géométriquement, l’ordonnée de la courbe AMNB (fig. 7) figurant la fonction f(x), il y aura un maximum au point M, un minimum au point N.

Une fonction peut donc admettre plusieurs maxima et plusieurs minima.

Supposons la fonction f (x) continue dans le voisinage de x — a, Si elle admet une dérivée déterminée f’(a) > ou < o pour x — a, on sait (88) que la différence f(a +- h) — f (a) sera de même signe que À dans le premier cas et de signe contraire dans Je second; dans les deux cas elle changera donc de signe avec k et il n’y aura ni maximum ni minimum pour x = a. Donc, pour que la fonction f(x) devienne maximum ou minimum pour une valeur a de la variable, il faut, ou que f'(a) soit égal à zéro, ou que f(x) n'ait pas de dérivée pour x = a.

423. Supposons donc que f”’(a) soit nul et en outre que f’(x), f''(x) soient des fonctions continues dans le voisinage de x = a. On aura par la formule de Taylor, f’ (a) étant nul,

fa+ fo = À fat (o <0< 5).

Or, h? est positif; f’’(a 4 0h) sera de même signe que f/’(a), supposé différent de zéro, pour des valeurs suffisamment petites de h (68), donc f(a—+ h)— f(a) aura le même signe que f/'(a), quel que soit le signe de h. Il suit de là que f(x) sera maximum pour x = a si f/'(a) est négatif, minimum si f''(a) est positif. Si f'(a) est nul, un nouvel examen est nécessaire.

Supposons, en général, que les n — 1 premières dérivées de la fonction s’annulent pour x — a,

SR, PEAR EX eS fa) Zo,

toutes ces dérivées étant d’ailleurs continues dans le voisinage de x — a. Le théorème de Taylor donnera |

Fa (oO = fra +0) (o <O < 1)

et en raisonnant comme plus haut, on verra 1° que si n est impair, le second membre changera de signe avec h et il n’y aura ni maximum ni minimum pour x — a; 2° que si » est pair, f (a h) — f{(a) sera, dans le voisinage de À — o, de même signe que f”(a), en sorte que f (a) sera un maximum si f#(a) est négatif, un minimum si f(a) est positif.

La règle pour trouver les maxima et les minima d’une fonction explicite est donc celle-ci : on égalera à zéro la dérivée de la fonction, on cherchera les racines réelles de cette équation, et on les substituera dans

la dérivée seconde : si le résultat est négatif, la racine correspondra à un maximum; s’il est positif, à un minimum; sil est nul, on recourra aux dérivées suivantes comme il est dit plus haut.

On peut se servir des différentielles au lieu des dérivées dans l’application de la règle, car d'f (x) = f" (x) dx”, et le facteur dx" étant différent

de zéro, et positif lorsque n est pair, sa présence ne change rien aux résultats énoncés.