Prenons comme exemple la fonction f(x) = x (x — a

n étant entier ct positif, a positif, cette fonction satisfait à toutes les conditions énoncées. On trouve

f(x) —=(x— a)" '[(n+i)x — a], f(x) = n(x — a)"?[(n Lr)x — 24].

L’équation f’(x) — o admet les racines

ne n +1 La première donne

et répond à un maximum si x est pair, à un minimum si n est impair. La seconde x — a annule f(x) et les dérivées suivantes jusqu’à l’ordre n — 1 inclusivement. On a ensuite, par la règle de Leïbnitz (93),

fn(@)=n(n— 1)... 2.1{(n+Hi)x— na], f(a)=1.2...n.a; si n est impair, la première dérivée qui ne s’annule pas étant d’ordre impair, x — à ne donne ni maximum ni minimum; si # est pair, /"(a) étant positif, / (a) est un minimum. :

Enfin, les valeurs de la fonction qui correspondent à ces racines sont

(=) rm ( de f(a) = 0.

129. Les règles ci-dessus se rapportent aux cas où f’(x), f’'(x), satisfont à certaines conditions de continuité. La fonction peut admettre d'autres maxima et minima, pour des valeurs de x pour lesquelles la dérivée n’existe pas. On les reconnaît à ce que la dérivée, positive pour x <a, devient négative pour x > a, ou inversement. Dans le premier cas, la fonction f(x) cesse d’être croissante pour devenir décroissante pour æ = @, il y a maximum; dans le second cas, il y a minimum.

SL Ainsi, la fonction f(x) — 1 + <) donne f(x) — 2x ÿ; la dérivée ne s’annule pour aucune valeur de x, mais elle devient Her pour % —0, qui donne f(o)— 1. Comme f”(x) est négatif pour x <'o, positif pour x > o, x — 0 correspond à un minimum de f(x). De même, la fonction

fa) = x — ei

s’annule pour x — 0, et le rapport f(h):h a pour limite + 1 ou — 1 suivant que k est > ou <'o; il n’y a pas de dérivée. Mais on voit directement que f(h) — f(o) est positif, quel que soit le signe de h, donc f(o) = o est un minimum de la fonction. ; Il y a quelquefois avantage à déterminer ainsi directement le signe e f(a + h) — f(a) au lieu d'employer la dérivée seconde, même dans les cas où cet emploi serait légitime.

Exercices.

Trouver les max. et min, des fonctions suivantes :

2. flx) = x5 — 78x5 + 1620x — 1000. R. x — — 6, max., f — — 2296; x — — 3, mIN., /— — 4078; æ — 3, max., f — 2078; x — 6, min., f — 296.

2. VERRE —- V'ab, MAX.; X — — V' ab, min, (£ + cos x) cos x — sin? x. R. : m— 0; *max:;°2—7T, max.; x — arc cos (= :) min, 4, f(x) —=(2 + 3 cos x) sin x. À. cos ue, max, ; se min.

5. f(x) —=(1t + x5) (7 — x)°. R:æ@—=0,; min, f—=40 4 I\FP mars = 72; æ —7, MiINn., f—=0.

æ) —(a + bx) (x + Ba?) ?. R. x — «bas, min. si a8 > 0, max. si ag € 0. 2, f(&)—=e"—2cosrHe"t, R.x—o,min.; f=0.

1 + 2x arc tg x

S. f(x) — LES ei R, x——1, max.; æ—0, min.; æ —+ 1, max. sin (2n + 1)æ ; - .

9. f(x) = HO EUr » nentier. À. On a pour l’équation de condition sin æ

(2n + 1) sin æ cos (2n + 1)æ — sin (2n + 1)æ cos x — 0. L2

1° æ—(2i+ 1)r:2, à entier quelconque, max. si n est pair, min. si n est impair; 20% — ir, max. f —2n +1; 5° tg (2n + 1)æ = (2n + 1) tg x, équation transcendante dont les racines se construisent par l'intersection de deux courbes; valeur approchée æ—(2i-1)x : 2(2n + 1); donne alternativement des maxima et des minima (Théorie des réseaux).

40. Dans un levier du second genre, pesant et homogène, quel doit être le bras de levier æ de la puissance Q, pour que celle-ci soit un minimum, le moment M de la résistance étant donné ?

R. Soit g le poids de l’unité de longueur du levier. On trouve ga? —2M, Q —V/2Mg.

44. Couper un cône cireulaire droit par un plan parallèle à la génératrice, de sorte que le segment parabolique obtenu soit un maximum,

R. Soient a le rayon de la base du cône, x la portion de ce rayon entre la génératrice et le plan sécant. On trouve æ — u: 2.

#2. Chercher, sur une droite OM, la position du point lumineux M à laquelle répond le maximum d’éclairement d’un élément plan situé en A, sachant que l’éclairement est en raison inverse du carré de la distance AM et en raison directe du sinus de l’inclinaison de AM sur le plan de l'élément éclairé.

R. Soient O le point de rencontre de la droite OM avec ce plan, x = OM, a — OA, a, — OA, la projection de OA sur OM. On trouve

,— EWV'at+ 80 —— 4 2 ce qui détermine deux points situés de part et d’autre du plan de l’élément, et qui répondent tous deux à un maximum.

#3. Étant donné un prisme hexagonal régulier ABCDEFLMN... (fig. 8) on mène, par un point S pris sur l’axe, trois plans par les diagonales respectives AC, CE, EA de la base supérieure, et l’on remplace cette base par le pointement à trois faces ainsi obtenu. Démontrer que le nouveau solide a même volume que le premier, quel que soit le point S, et choisir ce point de manière que la surface totale du solide soit un minimum (Alvéoles des abeilles).

R. Appelant æ l'inclinaison des faces du pointement sur la base du prisme, on trouve

sinx=3 ?.

44. Étant donné un point A dans l’intérieur d’un Fig. 8. angle XOY, mener par ce point une droite PQ qui retranche de l'angle un triangle d’aire minimum (pe SLus). R. Soient (a, b) les coordonnées du point A par rapport à OX, OY; OP — x, OQ = y. La fonction qui doit être un minimum est æ* : (æ — a). On trouve