THÉORIE DES FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES

4130. On dit que deux variables indépendantes x et y varient dans une région T lorsque, pour chaque valeur de x appartenant à un intervalle (a, b), y admet toutes les valeurs comprises dans un certain intervalle (y', y”), y’ et y’’ étant, en général, des fonctions de x. Le système de valeurs (y’, y”, a, b) définit le contour de la région T.

Tout système de valeurs (x, y) des variables appartenant à la région T se nomme un point. La région T est connexe lorsque, pour passer d'un point quelconque (x, yo) de la région ou de son contour, à un autre point (x, y1), il est possible de considérer x et y comme des . fonctions simples et continues d’une même variable auxiliaire { qui croit d’une valeur {, à une valeur 4, sans que le point (x, y) cesse d’appartenir à la région T.

433. Une variable w est fonction de deux variables x et y dans la région T lorsque, pour tout système déterminé de valeurs (x, y) ou pour tout point appartenant à la région T, la variable uw reçoit une ou plusieurs valeurs déterminées. Nous supposerons ici que w soit une fonction simple, ou qu’à chaque point (x, y) réponde une valeur unique de w. Ainsi, sin (ax + by +-c) est une fonction de x, y définie dans une région

illimitée ; (: pus * est une fonction définie dans la région dont

tous les points satisfont à la condition x° y?

ou dont le contour est défini par le système de valeurs

Au reste, la détermination de w comporte la plus grande latitude : ainsi on peut concevoir que # soit nul pour tout système de valeurs rationnelles de x et de y, égal à l'unité pour tout système irrationnel, et égal à 1 : 2 pour tout autre système, etc.

Bien que les propriétés à étudier soient indépendantes de toute figuration géométrique, nous adopterons, pour plus de clarté, la représentation des variables x et y par deux coordonnées rectangulaires dans un plan. Le système (x, y) sera figuré par un point P du plan et la région T par l’espace plan compris entre les droites x = a, x —b parallèles à l’axe des y et les lignes droites ou courbes:y = y’, y = y”, qui représenteront le contour de la région T. Tout point pris sur le contour est censé appartenir à la région, à moins qu’il n’en soit explicitement exelu. Si la région est connexe, on peut réunir deux quelconques de ses points par un trait continu qui y sera entièrement situé et la variable € sera, par exemple, le temps, ou l’arc parcouru par un point mobile sur ce trait. La fonction w serait figurée par une ordonnée élevée, normalement au plan de la région, sur le point P, et l’ensemble de ses valeurs dans la région T par le lieu géométrique des extrémités de ces ordonnées.

On démontre, sur les fonctions de deux variables, quelques propriétés qui généralisent celles du Chapitre I.

132. TaéonÈène 1. — Si, lorsque x et y varient dans une région T, une fonction u — f (x, y) reste comprise entre deux valeurs fixes À et B, À <B, elle admet une limite maximum L et une limite minimum l dans le sens défini au N° 62.

Donnons à x une valeur quelconque x dans l'intervalle (a, b); w devient une fonction de y seul dans l'intervalle (y', y”) qui correspond à cette valeur x, et # étant compris entre À et B, admet dans cet intervalle une limite maximum (6%). Cette limite, en général, dépendra de la valeur x et nous la désignerons, pour cette raison, par L(x). Le raisonnement s'applique à toute valeur de x dans l'intervalle (a, b). La fonction L(x) de x est elle-même comprise, nécessairement, entre A et B; donc, lorsque x varie de a à b, elle admet à son tour une limite maximum L laquelle jouira, par rapport au système des valeurs que u — f(x, y) peut acquérir dans la région T, de toutes les propriétés de la limite maximum définie au N° 62.

On démontrerait de même l’existence de la limite minimum £. L’excès L — | de la limite maximum sur la limite minimum est ce qu’on nomme l’oscillation de la fonction f(x, y) dans la région T.

433. Une région T est partagée en deux ou plusieurs autres T', T/’, :.. lorsque 1° tout point de Ja région T appartient à l’une des régions T’, T/', .… et réciproquement; 2 lorsqu'aucun point ne peut appartenir à

deux des régions T’, T’’,.. à moins qu'il n’appartienne à leur contour. Si l’on trace un système de lignes droites, par exemple, de parallèles à l'axe des x ou des y, dans l’espace plan qui représente la région T, les aires dans lesquelles sera décomposé cet espace figureront des PÉeIons T’, T/’,... dans lesquelles T sera partagé.

Concevons que l’on partage la région T en deux parties, T’ et T’’; par exemple, par une droite parallèle à l’axe des y. La limite maximum de f(x, y) sera encore L dans une au moins des régions T”, T”’; elle sera égale ou inférieure à L dans l’autre, Il en serait de même si l’on partageait la région T en un nombre quelconque d’autres T’, T/’, T’””, … par des lignes arbitraires. Une conclusion semblable s’applique à la limite minimum /. II en résulte nécessairement que dans chacune des régions T”, T’’, …… l’oscillation de la fonction est inférieure ou tout au plus égale à L — |.

4134. Continuité. — Une fonction u — f(x, y) de deux variables est continue en un point («,{f) lorsque l’accroissement f(a« + h, (+ k) — f(x, B) de la fonction, quand on passe du système (4, B) de valeurs des variables à un autre (4 + h, 6 k), a pour limite zéro, de quelque manière que les accroissements À et 4 des variables tendent simultanément vers zéro. En d’autres termes, pour que la fonction f(x, y) soit continue au point (&, 5), il faut et il suffit que l’on puisse délimiter autour de ce point une région déterminée, assez petite pour que l’oscillation de la fonction f(x, y) dans cette région soit moindre qu’une quantité donné €, quelque petite quelle soit. Cela suppose évidemment que la fonction w ait au point (x, 5) une valeur finie et déterminée.

Il importe d’observer qu’il ne suffit pas, pour que « soit une fonction continue en un point (æ«, f), qu’elle soit continue par rapport à x, y restant invariable, et par rapport à y, x reslant invariable, Ainsi la fonction

u = sin { 2arct

à laquelle on donnerait la valeur zéro pour x — «, y — f, est nulle pour y—f, x restant variable; de même, si l'on pose x — « et qu’on fasse varier y, on a

— sin (2 arcigo)—sinr —0;

la fonction est donc constamment nulle et, par suite, continue, lorsqu'on

fait varier x ou y à partir du système de valeurs x = «, y —f. Elle n’est pourtant pas continue pour le point (+, f), car si nous supposons que x, y tendent respectivement vers les limites «,f, en établissant entre les accroissements x — à, y — B un rapport déterminé

Creel 2P À

4 RC

nous aurons

lim sin (= arc tg “hsn =) — sin (2 arc tg À), X— à d’où il suit que f(x, y) a une limite différente de f(x, B), lorsque x ety tendent respectivement vers «, GB ; cette fonction n’est donc pas continue au point (x, (5).

435. Une fonction de deux variables peut cesser d’être eontinue pour un système de valeurs (x, {>) des variables, soit en devenant infinie, soit en devenant indéterminée, soit, comme dans l’exemple ci-dessus, en tendant vers des limites différentes lorsque le point (x, y) se rapproche indéfiniment du point (c,{) en suivant des chemins différents. Ainsi la fonction

u ZT am L? + y* est indéterminée pour x — 0,y—0o. Pourx=oet}y 0, 0Nna#—0;

pour y —oet ne o,onau—1. La limite vers laquelle tendra , x et

y ayant pour limite zéro, dépendra du rapport arbitraire que l’on établirait entre x et y.

Une fonction de x et de y peut aussi devenir discontinue pour tout système de valeurs de x et de y qui satisfait à une certaine relation, ou le long d'un chemin déterminé.

Une fonction f(x, y)est continue dans une région T lorsqu'elle est continue pour tout système (x, y) de valeurs des variables dans cette région; il suffit, lorsque le point (x, y) appartient au contour, que la différence f(x + h, y + k) — f(x, y) soit infiniment petite pour les points (x + h, y + k) intérieurs au contour.

Enfin, la fonction f(x, y) est continue dans le voisinage d’un point (æ, B) lorsqu'elle est continue dans une région («+ e, 6 + e).e étant très-petit, mais déterminé.

136. Propriétés des fonctions continues de deux variables, — Taéorèwe II. La fonction u— f(x, y) étant continue dans une région connexe T, si l’on prend deux points (x%o, yo); (%1, ys) de cette région et si l’on désigne par À une quantité quelconque comprise entre Uo = f(Xo, Yo), Ua —= ff (X1, Ya), existe dans la région T au moins un système (E, n) de valeurs tel que l'on ait

D’après la définition de T, on peut concevoir que x, y soient deux fonctions continues d’une variable t telles que, t croissant de la valeur t, à la valeur {, x et y passent respectivement des valeurs x, yo aux valeurs %1, Yi. Or, w étant fonction continue de x, y qui sont des fonctions continues de t{, on reconnait sans peine (38) que « est une fonction continue de t dans l'intervalle (t, 4); donc, en vertu du théorème du N° 67, il existe entre {, et {; au moins une valeur 7 de cette variable t£ pour laquelle la fonction w acquiert la valeur À comprise entre w et wi. A cette valeur 7 correspond nécessairement un système (Ë, n) de valeurs de (x, y), appartenant à la région T. Donc, etc.

Ainsi une fonction f(x, y) ne peut passer d’une valeur à une autre, dans une région où elle est continue, sans passer par toutes les valeurs intermédiaires.

237. Tuéorèue III. — Une fonction u — f(x, y) continue dans une région T, atteint sa limite maximum L pour un système au moins de valeurs de (x, y) appartenant à cette région. Il en est de méme pour sa limite minimum |.

Partageons la région T en plusieurs autres; par exemple, par deux: systèmes de droites parallèles respectivement à l’axe des + et à l’axe des y. Il existera au moins une de ces régions, T’, pour laquelle la limite maximum de f(x, y) sera L (48%). Subdivisons cette région T’ en plusieurs autres par deux systèmes de parallèles aux axes, et soit T”’ l’une de ces régions, dans laquelle la limite maximum de « soit encore L. En continuant ainsi, on déterminera une suite de régions T, T’, T/’, ... T°"), dont chacune sera comprise dans la précédente, et qui toutes donneront pour limite maximum de f(x, y), la même quantité L. Comme les parallèles à l’axe des x par lesquelles nous effectuons ces subdivisions successives sont espacées suivant une loi arbitraire, nous pouvons admettre que les deux valeurs de y, qui comprennent la région T’, puis

la région T’’, .… se rapprochent indéfiniment et tendent vers une limite commune ». De même, les valeurs successives de x qui comprennent ces mêmes régions tendront vers une même limite Ë; la région T(" finit donc par devenir moindre que toute aire donnée, # croissant indéfiniment. Mais, d’après le théorème I, il existe dans cette région T un point (x, y) tel que f(x, y) diffère de L d’une quantité absolue moindre que €, € étant donné et arbitrairement petit. D’autre part, la région T(® étant aussi petite qu’on le veut, la valeur absolue de f(x, y) — f(Ë, n) peut aussi être supposée moindre que €, en vertu de la continuité; on aura donc

VA (f(x, y) — FE, n) +L— f(x, y)] < 26,

MAIL — f(Ë,n)] < 2e.

La différence L — f(£, n) étant déterminée, et sa valeur absolue pouvant être supposée plus petite qu’une quantité arbitraire 2e, cette valeur ne peut être que zéro. On a donc

fé; n) = L,

On prouverait de même qu’il existe dans la région T un point (£’, n') satisfaisant à la condition f(£’, n') — L.

138. THÉORÈME IV. — La fonction u — f(x, y) élant continue dans’ la région T, il est toujours possible de partager T en d’autres régions suffisamment petites pour que, dans chacune d'elles, l'oscillation de la fonction u soit moindre qu’une quantité donnée s.

Partageons la région T, par des droites parallèles aux axes, en un nombre quelconque n d'autres régions plus petites, dans chacune desquelles l’oscillation de la fonction sera inférieure ou au plus égale à L— /. Si, dans toutes, l’oscillation de uw est < €, le problème sera résolu ; s’il y a des régions dans lesquelles elle reste €, nous décomposerons chacune d’elles, par des parallèles aux deux axes, en un nombre n ‘de régions plus petites. Si l’oscillation de w est <e dans chacune de ces nouvelles régions, le but sera atteint ; sinon, on décomposera chacune de celles dans lesquelles l’oscillation égale ou surpasse € en n régions plus petites, et l’on continuera ainsi autant que l’on voudra. Si, en poussant les subdivisions assez loin, on atteint un système de régions dans chacune desquelles l’oscillation de w est < €, le problème sera résolu. Si l’on n’y parvient pas, quelque loin qu’on pousse les subdivisions, on formera

ainsi au moins une suile indéfinie de régions T, T’,T/’,... T® dont chacune sera comprise dans la précédente, dont on prouverait comme plus haut que l’aire finit par devenir moindre que toute grandeur donnée autour d’un point déterminé (Ë, n); dans lesquelles, enfin, l’oscillation de la fonction f(x, y) reste toujours égale ou supérieure à e. Mais, d'autre part, la continuité de la fonction w permet de délimiter autour du point (£,») une région déterminée dans l’intérieur de laquelle f(x, y) différera de f(é, n) d’une quantité moindre que € : 2 en valeur absolue, dans laquelle l’oscillation de la fonction sera donc moindre que €, et qui finira pourtant par renfermer la région T®, puisque celle-ci peut devenir aussi petite qu’on le veut. Ceci est contradictoire, le théorème est donc démontré.

139. THéorÈèue V. — La fonction f(x, y) étant continue dans une : région T, ets étant une quantité arbitrairement petite donnée, il est possible d’assigner un nombre 0 tel que la différence f(x’, y’) — f(x, y) sera, en valeur absolue, plus petite que &, si les points (x, y), (x’ y’) appartiennent à la région T et si les quantités VA (x’ — x), VA (y — y) sont plus petites que 0.

Partageons d'abord la région T, par des parallèles aux axes, en d’autres © assez petites pour que, dans chacune d'elles, l’oscillation de la fonction soit < € : 2 (488), et désignons par d la plus petite distance entre deux de ces parallèles. Si nous prenons deux points (x, y), (x’, y’) tels que l’on ait

Mix —x)<0, WA(y—4y)<o,

MA (x, y) — f(x, y) <3e <e; ou bien, qu’ils appartiennent à deux régions différentes, mais qui ont

au moins un point commun (Ë, x). On aura done

A[f(,y)— {En <£e May) —/E n] <5e, et par suite AE (&,y)—f(em1<e.

On pourrait exprimer cette propriété en disant que, lorsqu'une fonction

f(x, y) est continue dans une région T, elle y est uniformément continue. On pourrait aussi établir, comme au N° 32, que si une fonction con-

tinue de deux variables est définie, dans une région T, pour un système de points tels qu’il en existe un nombre indéfini dans la plus petite partie de la région, elle est définie pour tout système (x, y) appartenant à la région T.

440. Les fonctions de trois ou d’un plus grand nombre de variables x, y, z, .… définies dans une région déterminée, donnent lieu à des considérations tout à fait analogues aux précédentes ; seulement, au delà de trois variables, la représentation géométrique fait défaut. Une fonction continue en-un point, c’est-à-dire pour un système x, y, z … de valeurs des variables, se définit de la même manière qu’au N° 484 et jouit de propriétés analogues à celles des fonctions de deux variables et qui se démontrent de même. Ces généralisations se faisant facilement, nous ne nous y arrêterons pas.