DÉRIVÉES ET DIFFÉRENTIELLES PARTIELLES OU TOTALES

441. Considérons une fonction u — f (x, y) de deux variables, simple, finie et continue dans une région T. Si l’on attribue à y une valeur constante et que l’on fasse varier x, u devient une fonction continue de x seul, et si elle admet une dérivée celle-ci se nomme la dérivée partielle de w par rapport à x. Nous la désignerons, soit par f;(x, y), soit par D,u et nous aurons en conséquence

fEHR y — fs y)

lim ; fe, 9) = Du;

de même, en regardant x comme constant et w comme fonction de y, on aura

fe (x, y) — D,u,

pour la dérivée partielle de w par rapport à y.

On représente aussi ces dérivées partielles par les rapports des différentielles partielles du, dyu de u aux différentielles respectives dx, dy des variables, en sorte que l’on aurait

f(x; y) Ta

d,u , du.

dxt MC Enter

mais l’usage a prévalu de supprimer les indices au numérateur et d’em-

ployer alors la caratéristique d pour les différentielles partielles, de sorte qu’on écrit

du ; __ du PENSAIS:

On écrit aussi, au lieu de d,u, du,

(0 du Se dx, du

0x Les fonctions de trois ou d’un plus grand nombre de variables donnent lieu à des définitions et notations analogues.

442. Au moyen de ces dérivées partielles, on obtient une expression remarquable de l'accroissement Au d’une fonction f(x,y) de deux variables, lorsque celles-ci prennent les accroissements h et k. Supposons que, dans le voisinage d’un point (x, y), la fonction « soit continue et admette des dérivées partielles f(x, y), f, (x, y) ; de plus, que k et k soient assez petits pour que le point (x + h, y k) reste compris dans la région de continuité. On a

Au— f(+ hi, y + — f(x, 9) = [f(x + h, y +) — f(x, y + H)] + LÉ (es y + À) — f(x, y]. En vertu des hypothèses faites sur la fonction w, le théorème de M. Bonnet s’applique et donne Les y +8) — fs 9) E y (eg + 0h) f@+h,y+) — fe, y +) = fe (+0 h, y +), 0 et 0, étant plus grands que zéro et plus petits que l'unité. D'autre part, si l’on udmet encore la continuité des dérivées partielles 2x, y), [a (æ& y) au point (x, y), on aura les égalités fe, y +0k)= fr @, y) +0, fee + Oh, y +R) = fr, y) +0, o et wo’ désignant des quantités qui ont pour limite zéro lorsqu'on fait décroître indéfiniment h et k. On peut donc écrire (1) Au—hf;(x, y) + kf,(e, y) + oh + w'k.

143. — Conséquences : 1. Le théorème précédent subsiste indépendam-

ment des hypothèses sur la nature des variables x et y. Si celles-ci désignent des fonctions simples, continues de {, admettant des dérivées,

dy.

u sera une fonction continue de f, dont la dérivée s’obtiendra comme il suit : h et k étant les accroissements respectifs de x et de y qui correspondent à un accroissement At de la variable indépendante, l’équation (x) s’appliquera. Divisant toute l'équation par At et faisant tendre At vers zéro, on observera que h et & tendent vers zéro et que leurs rapports à At ont pour limites respectives dx : dt et dy : dt ; que « et w’ tendent vers zéro en même temps que At, et que, par suite, les dérivées de x et

de y étant finies, on aura

Au lim — f. (a Dale DE

ou À du Oudx | du dy (2) dd 0x dt Eu Par dt

On a ainsi la dérivée de w par rapport à {, exprimée au moyen des dérivées partielles de w par PADDEES à x et à y, et des dérivées de x et de y par rapport à £.

Cette loi s'étend sans difficulté, comme l’équation (1) dont elle dérive, à une fonction w de trois, quatre, .… variables x, y, z, ..… fonctions de t;

on a donc du du dx , du dy Ou dz (3) dt 0x Ho de dt | 0z Tama

ce qui constitue la règle de dérivation des fonctions composées. En prenant u—x+y—2..,u—2xy,etc…., on retrouve les règles du N° 737. 444. Tirons de là une propriété des fonctions homogènes, On dit qu’une fonction f(x, y, z,..) est homogène de degré m lorsque, chaque variable étant multipliée par f, la fonction est multipliée par {”, en sorte

que (A) ACTU EI E CRUE PAT Considérons { comme une variable indépendante de x, y, z,...; s — tx, vu — ty, w—tlz,.. et par suite f(s, v, w,...) comme des fonctions de t. L'application de l’équation (3) donnera, en égalant les dérivées par rapport à { des deux membres de l’é équation (A),

a+ dE yet = mt fa, y, 2, ….),

vw

et si, danscette égalité, on fait {t — 1, d’où s— x, v —7y, w—z,...0ona of ie (B) ne

ce qui est la propriété annoncée. On peut la vérifier immédiatement sur les fonctions homogènes

2e. HN (ET: Us 2, ..),

ax? + by? Hez?, à + y?z|. : rnetCe..

245. — II. L’équation (1) s'applique également au cas où les variables x et y étant indépendantes, leurs accroissements À et k ne sont liés entr’eux par aucune condition. Mais comme le point (x, y) ne peut passer d’une position (%o, Yo) dans la région T à une autre position (x, y1) sans que cette variation s'effectue suivant une certaine loi, il convient de considérer les variables x et y comme étant encore des fonctions d’une même variable auxiliaire {, mais des fonctions dont la forme reste arbitraire. Nous nous limiterons d’ailleurs au cas où ces fonctions seraient simples et continues par rapport à { et admettraient des dérivées. La différentielle de w, prise sous ce point de vue général, se nomme sa différentielle totale. L’expression de cette différentielle résulte immédiatement de l’équation (2) multipliée par dt; on a |

du (4) du dx ee 5 ds

les différentielles dx et dy étant arbitraires ee ce qu’on vient de dire. On trouverait de même, pour la différentielle totale d’une fonction de trois variables indépendantes, u — A y; &),

(5) du = Ta Te ay + dz,

et ainsi de suite, On peut écrire, plus brièvement, du = du + dyu + du

et énoncer ce théorème : La différentielle totale d’une fonction de plusieurs variables indépendantes est la somme de ses différentielles partielles par rapport à chacune d'elles.

4146. Le théorème précédent n’est applicable que si 1° la fonction est continue dans le voisinage du point (x, y,z,...); 2° ses dérivées partielles D,u, D,u, D.u existent dans ce voisinage, et sont de plus

continues pour le point (x, y,z,...). Considérons, par exemple la fonction ne

U = ——— ) continue et finie dans une région arbitraire, pourvu qu’on lui attribue la valeur u — 0 pour x — 0, y — 0. On trouve, par les règles connues,

du y5 Ou x?

ut 9 Guy) et ces dérivées sont également finies et continues, sauf au point x — 0, y — 0, où leurs expressions deviennent indéterminées. Le théorème s’applique donc à tout point (x, y), sauf à celui-là. Comme la fonction uw est nulle pour x— 0 quel que soit y, et pour y—0o quel que soit x, il suit de la définition même des dérivées partielles que

l’on a, pour x — y — 0,

dy == et l’application de l’équation (4) donnerait du — o. Mais on a en réalité,

pour T — y —0,

hk

AU = ———— ; VRTE

et si l’on pose h — x At, k — BAT, à et B étant des constantes quelconques, At V/a? LG? V/a? + (6°

ainsi la différentielle totale de w dépend des constantes « et G et n’est pas nulle en général, pour x — y — 0

447.— III. La formule (5) subsiste encore lorsque, au lieu de supposer x, y, z, .… variables indépendantes, on les considère comme des fonctions données de plusieurs autres variables indépendantes Ë, n, 6, . .; mais dx, dy, dz, .. désignent alors les différentielles totales de x, y, z, … considérées comme fonctions de &, n,6, … et l’on peut les remplacer par leurs valeurs en dé, dn, dé, … données par la même formule (5),

dx, dæ, 0 de = dan de.

Pour démontrer cette conclusion, on remarquera que, d’après le point de vue auquel nous nous plaçons pour définir la différentielle totale du, ë,n, 6 .… doivent en définitive être considérés comme des fonctions non définies d’une certaine variable auxiliaire {; que x, y, z, ... et par suite u, deviennent aussi des fonctions de f, et que la différentielle totale du peut être exprimée, par conséquent, au moyen des différentielles dx, dy, dz, .… de x, y, z.…, par l'équation (3). Or, ces différentielles dx, dy, dz, .. ont précisément la signification des différentielles totales de x, y, z, ..… et s’exprimeront, par conséquent, au moyen de celles des variables Ë, n, 6, … par l’équation (5). Il est bien entendu que ces relations subsistent toujours sous la réserve que les conditions de continuité énumérées au N° 449% soient remplies.

Comme conséquence de cette remarque, il est clair que les règles du N° SO pour différentier une somme, un produit, etc... de fonctions u, v, w, .… de x, subsistent si u, v, w ..… sont des fonctions de plusieurs variables indépendantes.

2148. Les dérivées partielles d’une fonction u = f(x, y) de deux variables étant elles-mêmes, en général, des fonctions de ces variables, si l’on cherche leurs dérivées partielles, soit par rapport à x, soit par rapport à y, on obtiendra les dérivées partielles du second ordre de u, et ainsi de suite.

Désignons encore par f;(x, y), f(x, y) les dérivées partielles du premier ordre, et posons

PSE D aps 10e CE 9)

Dr D fr, 9) réa (e 9)

Ce sont les dérivées partielles secondes, que l’on désigne aussi, respectivement, par D’u, D,D,u, D,D,u, D'u. Mais il existe sur ces dérivées un théorème important que nous allons démontrer.

Soit, dans une région T, un point (x, ÿo) dans le voisinage duquel les fonctions f(x, y), f!(x, y), f, (x, y) existent et sont continues, tandis que les fonctions f(x, y), f,. (x; y) sont supposées seulement être déterminées. Soient h, k des accroissements arbitrairement petits de signes quelconques, et posons

(&) Au f(xo+h, yo k) — f (60 + hi, yo) — f(Xo; Yo + k) + F0, Yo).

Posons d’autre part, x restant variable,

px) = f(&, yo HA) — f(x; yo); Au pourra être regardé comme l'accroissement de o (x) quand x passe de la valeur x à la valeur x, + h, et puisque la fonction œ(x) est continue et a, dans cet intervalle, une dérivée déterminée

g')= f(x, Yo + À) — fa(x, yo), on aura, par le théorème de M. O. Bonnet, Au — @ (ao + À) — @ (0) = hp (0 + 0h) — À [fe (ao + 0h, yo +) — fx(xo + 0h, yo)], (o KO K1).

Mais le multiplicateur de À dans le dernier membre est l'accroissement de la fonction de y, f:(%o + 0h, y), lorsque y passe de la valeur yo à Yo + k, sans que «+ 6h varie. Or, la fonction f;(x0+- 0h, y) est, par hypothèse, continue dans l'intervalle (yo, yo + k) et admet une dérivée déterminée f:y(x0 + 0h, y); donc, d’après le même théorème, on a

fa + 0h, yo + k) — fx (%o + oh, Yo) = kfay (Go + 0h, yo +: Ok), 8 étant > o et < 1. On a donc enfin (8) Au = hf (ro + 6h, yo + Ou)

De la même manière, on peut considérer l’expression (x) comme l'accroissement de la fonction de y

Fo + h, y) — { (0, y)

lorsque y passe de Yo à yo + k, et en raisonnant comme plus haut, on établirait de même la relation

(y) Au — khfj (to + 0h, y OK),

9’ et 6” étant encore > o et < 1. Égalons les valeurs (8) et (y) de Au; nous aurons

fau (@o + 0h, yo +Gk)= fus (ro + 0h, yo + 0,R).

Si l’on admet enfin que les fonctions f:, et fyx soient continues au point (%o; Yo), faisant tendre simultanément h et À vers zéro, on aura à la limite

feu (os Yo) = fx (cos Yo).

Ainsi, en général, l'égalité (6) D,D.u = DD,u

subsiste pour tout système de valeurs (x, y), pourvu 1° que la fonction u et ses dérivées partielles D,u, Du soient continues dans le voisinage de ce système; 2° que les dérivées D,D,u et D,D,u soient déterminées dans ce voisinage ; 3° que ces dernières dérivées soient continues au point (x, y). 449. Pour montrer la nécessité de ces conditions, prenons la fonction

> es Jarts ni uU— f(x, y)—= x arctg” y ROSE

qui donne en général FD aaretgt y fe D=z—yarcge.

Ces trois fonctions w, Du, D,u sont généralement finies et continues, mème dans le voisinage du système (x— 0, y — o), pourvu qu’on leur attribue la valeur zéro en ce point. De plus, on a

2 __ 12 CHERE )T PACE y) =" L AC) EEE T., A eut D + de sorte que le théorème établi se vérifie ici en général, sauf pour x — 0, y —0, auquel cas f;, et f,, deviennent indéterminés, et il est facile de voir que ces fonctions sont discontinues en ce point, Or, on a pour T0; à 0 F(o;y)=—y, D,f(0,y)=— 7, et pour y — 0, L4 4 fs(æo)—=x, D.f, (x, 0) = x.

Donc, au point (x — 0, y—o),ona D,D,u——1, D,D,u = 1; ainsi le théorème ne se vérifie pas en ce point.

450. Aux dérivées partielles successives correspondent les différen-

tielles partielles successives définies par les équations

deu — Diu-dx?, d,d,u —D,D,u:dx dy, etc... L’équation (6) entraine donc celle-ci (7) d,d,u = d,d,u.

Il suit de là que l’on représente encore les dérivées partielles successives d’une fonction w au moyen de ses différentielles partielles, car on a

du d,d,u D?u — ) DT

dx? 1. ELC..

Mais on simplifie l'écriture en supprimant les indices x, y au numérateur et remplaçant d par 0 ; on écrit

{44 du [14 du Ou nt A net LL CUITS tue

Dyu = f,, (x, y—=—:

Mais le théorème du N° €48 peut être généralisé. Concevons que l’on effectue sur une fonction u— f(x,y) de deux variables un nombre quelconque de dérivations partielles successives, les unes par rapport à x, les autres par rapport à y dans un ordre arbitraire. Il suit de ce théorème que deux opérations consécutives dont l’une se rapporte à x l’autre à y, sur une même fonction ou dérivée, peuvent être permutées sans que le résultat soit changé.

On pourra donc, par la répétition convenable de ces permutations, ranger les dérivations successives dans l’ordre que l’on voudra, sans altérer le résultat final, et faire en sorte, par exemple, que toutes les dérivations relatives à une même variable soient faites consécutivement. Il suffira donc d’une seule caractéristique, affectée d’un exposant et d’un indice convenables, pour marquer la suite des opérations relatives à une même variable. Ainsi l’expression

du DiDjiu où —— LT: … Ox50y?

suffit pour représenter le résultat de cinq dérivations partielles successives, dont trois par rapport à x et deux par rapport à y, exécutées sur w

dans un ordre arbitraire. De même, l’expression

À du RU OÙ ——

sera employée pour représenter la différentielle partielle du 5° ordre, résultant de trois différentiations par rapport à x et de deux par rapport à y, dans quelque ordre qu'on les effectue. Il faut se garder, quand on

emploie la dernière notation, de supprimer le facteur dx5 dy? au numérateur et au dénominateur.

dx dy?

Il va sans dire que ces définitions, ces propriétés et ces notations s’étendront sans difficulté aux fonctions de trois ou d’un plus grand nombre de variables, et que le calcul des dérivées patielles des fonctions

explicites n’exige pas de nouvelles règles, attendu qu’à chaque opération on n’a à différentier qu'une fonction explicite d’une seule variable, puisque les autres sont traitées comme des constantes.

151. Différentielles totales successives. — Soient toujours u — f (x, y) une fonction de deux variables x et y, indépendantes ou fonctions ellesmêmes d’une ou de plusieurs variables indépendantes ; f: (x, y), fy (x; y)

ses dérivées partielles par rapport à x et à y, et

(8) du — fi(x, y) dx [y (x, y) dy sa différentielle totale. Considérons du comme une nouvelle variable, qui dépend de x, y, dx, dy; elle pourra admettre une différentielle totale d. du, qui sera la différentielle seconde d?u de f (x, y), et ainsi de suite. Nous nous proposons d'exprimer ces différentielles successives de # au moyen de ses dérivées partielles par rapport à x et à y et des différentielles successives de x et de y, définies d’ailleurs comme celles de et d’après la nature dépendante ou indépendante de ces variables, On admettra toujours que f(x, y) et ses dérivées partielles successives soient continues dans la région où les quantités x et y varient.

Appliquant à du les règles pour ditférentier une somme et un produit, nous aurons d’abord

d.du= d'u df}(e, y): de + dfh (es y} dy +f2 (0,9) da fy (e, y) d'y, et en développant les différentielles totales de f; et f, par la même règle (8) et ayant égard au théorème du N° 448, Eu far (3y) de 2fay (6,9) da dy + fonc y) dy + fa (c,y) d'a fs (0,9) d'y. On trouverait l'expression de d5u en continuant par les mêmes règles, mais il est plus simple, dans l’application à des exemples donnés, d’opérer

directement sur les fonctions explicites qui résultent de chaque opération. Dans le système de notations adopté, ces équations s’écriront comme

il suit :

e ou du d?u du 2 = — 2 y? 2 (9) d'u — FPE dx +23 os dd Sn dy LE de + d'u.

152. Lorsque x et y sont des variables indépendantes, ou en général

lorsque leurs différentielles dx et dy sont supposées constantes, d?x, d°y,

d5x,.…. s'annulent et l'équation (9) devient du du d'u (10) ne MU EE nn

On peut même alors former une expression symbolique de d'u. En effet, écrivous la valeur de du sous la forme symbolique.

Ô 0 du (oder + dy) us

nous en concluons que pour avoir la différentielle totale d’une fonction de %, y, il faut multiplier cette fonction par le facteur symbolique

et effectuer les opérations indiquées par ce symbole. On a donc aussi

du d du (5 dr + à du du = LE 7 dx dy 0x dy 4

en interprétant les puissances de d comme des indices de différentiation. On aura donc, en général,

formule symbolique que l’on traduira 4° en développant le premier

facteur, comme si — ; etc... étaient des quantités, par la formule du

dx binôme; 2° en introduisant dans chaque terme le facteur « sous le signe dP ; 5° en interprétant l'expression obtenue conformément aux notations ci-dessus.

4143, La facilité avec laquelle se forment les différentielles totales successives de f(x, y), par la simple application des règles du chapitre I, conduit à se servir de ces différentielles, en traitant dx et dy comme constants, pour calculer les dérivées partielles successives de w. On ôbtient en effet ainsi des résultats de la forme

du — pdx + qdy, d?u — rdx? + 2sdxdy +- tdy°,.…. où p, q, r, 8, 1... désignent des fonctions explicites connues de x, y; en égalant ces valeurs à celles que fournissent les formules générales (4) et

— 139 — (10), et observant que dx, dy sont des indéterminées, on trouvera évidemment les relations

du ou d?u d'u

PCR ay 7? re dog

et l’on connaîtra les dérivées cherchées.

Par exemple, si u — e** cos by, on aura directement

du — e* (a cos by dx — b sin by dy), d'u = ec” (a? cos by dx? — 2ab sin by dx dy — b? cos by dy°),

etc., .…, d’où l’on tire immédiatement du

ou Ë Se MU by, ET be“* sin by, du du — n2paz —#—# —— az G] .

Ta 4697 008 by, er abe* sin by, etc

Tout ce que nous avons dit des fonctions de deux variables s'étend sans peine aux fonctions de trois, quatre, .… variables.

Exercices.

Des ; x? — y° 4. Dérivées pose de w — PRET É R Ou as 2xy° du a 22%°y . * mr La Fr RIRE SUCRE Et 1 eh Eee (at — y)? (22 + yeÿ?

Ou ayt(yttant— ag), Ou | guy (at y + y) dt E 5? ae 5 5° is 1 A Ex 4 GE (x? — y23)? (x? + y2)?