CHAPITRE X

THÉORÈME DE TAYLOR ET THÉORIE DES MAXIMA ET MINIMA POUR LES FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES,

454. Soient f (x, y) une fonction de deux variables; a, a + k, deux valeurs attribuées à x; b, b + k deux valeurs de y; il s’agit de développer fa + h, b + k) en série procédant suivant des termes homogènes et de degrés croissants en h et k. Ce problème se ramène au problème analogue du n°446 comme il suit :

Soit { une nouvelle variable indépendante; posons

x = a + hi, y=b+k, f(a+ht, b+ki) = f(x, y) —9(0,

et développons o (f) par la formule de Maclaurin. Faisant ensuite { = 1,

nous aurons @(1) = f(a+- h, b + k), ce qui nous fournira le développement cherché. Or, nous avons

p(t}—+p(0)+tp(o) tar (o) + (A) pre 1 (

où o < 0 < 1; d’autre part, si nous prenons dt, qui est arbitraire, égal à l’unité, nous aurons, p étant entier,

qe (9) = dep) = d' f(x, y).

D'ailleurs, comme on a dr = hd her il suffira, dans le développement de la différentielle d? f (x, y), de remplacer dx par h et dy par k. Enfin, comme on doit faire { — o dans p(t) et

dans ses dérivées pour avoir les coefficients du développement, quet — o donne x — a et y — b, on voit qu’en général on aura

g? (o) — [dr f (x, y)la, v en mettant en indice les valeurs respectives qu’il faut attribuer à x et à y dans la fonction entre crochets. On trouverait de même p" (Ot) = [d" f (x, y)] à + Ont, 0 + 0x4.

Posons maintenant {— 1 dans l'équation (A) et ayons égard à la remarque ci-dessus, il viendra

| LR 6 D (ab) + Ldf (es part EG Plat.

Qu).

\ érse ere LROVE »Y)la,

Il est entendu que dx, dy seront Res par À et k dans ces différentielles développées.

455. À l’aide de la formule symbolique (11) du chapitre précédent, on développe les termes de cette équation, Comme, en effet, dx — h et dy — k sont constants par rapport à {, on a d?x — o, .… d?y — 0, ..., et l’on peut faire usage de cette formule. On a symboliquement

den (+)

[d"f f(x, Y)la + On, d+ 0x.

et pour indiquer que x, y sont remplacés respectivement par a et b dans les dérivées partielles de f, nous emploierons la notation

dr+a f dr+a Es:

e OY1 } ad 7 0æ db

donc