CITE) EE CLR EL

Nous aurons ainsi, en substituant dans la formule (1) et développant les premiers termes,

fta—+h,b+k) — f(a, b)+ List TER = (Eh + LE 2 me Le

: n ae) mt) lies [CG x DL nn

Comme la formule de Maclaurin suppose @© (t) et ses dérivées continues dans l'intervalle (o, 1),et que l'expression des différentielles totales au moyen des dérivées partielles suppose celles-ci continues pour la même valeur de {, on ne peut faire usage de l’équation (2) que si f (x, y) et ses dérivées particlles jusqu’à l’ordre » inclusivement sont continues dans la région limitée par les valeurs x — a, x — a + h, y — b,y—bk.Elle fournit alors, comme on le voit facilement, la solution du problème proposé, |

Faisons, dans la formule (2), a —0o, b—0o, h—x, k— y; nous aurons la formule qui Le à celle de Maclaurin :

FERRER + (Er +S ue Le 1 Er + ee F4 + ”).

Peer (ES 4 er rnelQtat) fl,

les indices marquent les valeurs par lesquelles il faut remplacer x, y respectivement dans les dérivées partielles entre parenthèses. Si, dans les équations (2) et (3) on suppose que n croisse indéfiniment,

sans que les conditions imposées aux dérivées partielles cessent d’être satisfaites, et si en même temps le dernier terme ou le reste tend vers la limite zéro, ces formules fournissent le développement en série indéfinie

convergente, l’une de f (a + h, b + k), l’autre de f (x, y).

La même méthode conduit, sans difficulté, au développement des

fonctions de trois ou d’un plus grand nombre de variables.

Exercices.