Développer x sin y + y sin x par la formule
R. On a [d? (æ sin y+ y sin x)o,9 — P Sin (p — 1) = (dx? —? + dy?) dx dy ; et comme R, a pour limite zéro,
c 2 4 4 6 æ SIN y —- y sin æ = xy Le y Pt APR ARE «| 1.2.3 2: 500R14.7 : b+k 2. Développement de arc tg Ts par l’équation (4),
R. Posant o — are tg — et appliquant les formules de l'ex. &, ch. IX, on trouvera a
are tg LÀ a
arc BP {as Lis) [an — k sin (+) | + « 2 à de I ; 2 Le sin 20 — 2hk sin (2 + >. -) + Je sin (2 de -)|
+2 (a +) I — I 2 3 Re 3 (a+?) ? | n5 sin 30 — 3h%k sin| 30 27 + 3h82 sin | 30 + 2" — k5 sin| 304 27 CRT Pour s’assurer si lim R,—o pour n—®, on fera x —7rcos u, y=rsinu,
h—p cos #, k = p sin ?, et l’on mettra (ex. cité) d” arc tg Ÿ sous la forme
(— 1}! 1.2... (n — 1) (= ) sin n (» — u).
Le reste prend la forme TT n—1 ñn 4 fr 8 sin n (9 — u),
[a + SA) + (b + OP etilsuffit, pour que la formule soit applicable, que l’on ait
3. Soit f(x, y, z, .. ) une fonction homogène de degré m de x, y, z. ..; on a, « étant une variable quelconque,
fie où, y + ay, z Has) = (1 + a)" f(, y, 2).
Développant le premier membre par la formule de Taylor, suivant les puissances de
ax, «y, az, @t(t + x)" par la formule du binôme, puis égalant les coefficients des mêmes
puisssances de « dans les deux membres, on trouve 1° le théorème des fonctions homogènes (444); 2° une suite d’égalités comprises dans la formule symbolique
à CONSCRNRCNE (ertrpteste f—=m(m—z)e.(m—p+#1) f(x, y, 2).
456. Une fonction f (x, y) de deux variables indépendantes devient maximum pour un système (a, b) de valeurs de ces variables, lorsque pour tout point (x, y) compris dans une région (ae, b+e), eete’ étant des constantes positives, on a constamment f(x, y) < f (a, b). Si, dans les mêmes conditions, on avait constamment f (x, y) > f (a, b), la fonction f aurait un minimum au point (a, b).
La recherche des systèmes de valeurs de x et y qui rendent maximum ou minimum une fonction de deux variables se ramène au problème correspondant pour les fonctions d’une seule variable, par un artifice analogue à celui du N° 854. Observons que si h, k, désignent des quantités arbitraires, et { une variable, on aura nécessairement, dans le cas du maximum,
fa + ht, b + ki) — f (a, b) Ko pour toute valeur absolue de { moindre qu’une certaine fraction d (sauf 1 — 0); et dans le cas du minimum,
fa + ht, b+ ki) — f(a, b) > o.
Si nous posons o (t) = f (a +- ht, b + kt), ces inégalités deviendront respectivement (1) pOÜ—p(o<o, plt)—?(o)>0o, et la fonction œ (t) de la variable t deviendra, pour t — 0, un maximum dans le premier cas, un minimum dans le second (126).
Réciproquement, si la première inégalité (1) est vérifiée pour toute valeur très petite de f, les valeurs de À et k restant quelconques, comme (x = a + ht, y — b + kt) peut représenter tout point compris dans une région très petite autour du point (a, b), il résulte de la définition que [ (æ, y) deviendra maximum pour x — a, y — b; de même, il y aura un minimum si la seconde inégalité est vérifiée.
D’après cela, il suffit de chercher les conditions pour que o (t) soit maximum ou minimum pour { —0o. Nous supposerons, pour simplifier, que f(x, y) et ses dérivées partielles du premier et du second ordre soient des fonctions continues dans le voisinage du point (a, b); alors
les fonctions œ(t), &’ (1), +” (1) seront continues dans le voisinage de t — o. Donc, pour que o (0) soit un maximum ou un minimum, il faudra que l’on ait o’ (0) —0(426). Or,ona
et comme cette égalité doit être vérifiée pour des valeurs arbitraires de het de k, on devra avoir
p'()—SER SEE, AO TE
of 10 feu (2) am D
Donc, tout système dé valeurs de(x, y) qui rend maximum ou minimum la fonction f (x, y) doit annuler les dérivées partielles D.f, D,f, à moins que la fonction f ou l’une de ces dérivées ne devienne discontinue dans le voisinage de ce système de valeurs.
On égalera donc à zéro les dérivées D.,f, D,f; on tirera de ces équations, en général, un nombre déterminé de systèmes de valeurs pour x et y, propres à fournir des maxima ou minima de f; soit (a, b) un de ces systèmes. On sait que { — o répond à un maximum de o (t) si ®”’ (0) < 0, à un minimum si o’’ (0) > o. Mais nous avons, en calculant ®/”’ (t) par la règle des Es composées et faisant { — 0,
Do) Le + ne + = as + 2 Bhk + Ck?.
I] faut donc que cette ee ne soit pas nulle, sauf pour h — k = 0, et reste constamment de même signe, quelques valeurs qu’on attribue à hetk.
Si A était nul, +” (0) se réduisant à k (2Bh + Ck) changerait de signe avec k, supposé très petit; il n’y aurait ni maximum ni minimum.
457. Supposons A différent de o, et écrivons +” (o) sous la forme
(3) A C JU st) Ps (c # +) k2.
e e B? e « La
Si les coefficients A, C — ni sont de même signe, c’est-à-dire si AC — B°? > o, cette expression restera de même signe que À, quelques valeurs qu’on attribue à h et à k, car ces coefficients multiplient des carrés ; f (a, b) sera donc un maximum si À < o, un minimum si À > o. Si, au contraire, on a AC — B? <o, comme on peut toujours disposer
des arbitraires k et & de facon à annuler l’un des termes de æ”’ (0), et comme ces termes ont des signes contraires, q”” (o) changerait de signe, il n’y aurait ni maximum ni minimum pour x — 4, y — b.
Enfin, si AC — B? — o, o”” (0) s’annulera encore pour des valeurs de h, k différentes de zéro, et l’on ne peut rien conclure sans recourir aux dérivées supérieures de 9 (1).
Ainsi, la fonction
(ee, y) = yi — 2 (a + Ê) 2y° + 4 aPr°
conduit, en vertu des équations (2), aux relations
ay —4(a+f)ay=0o, 8afx — 2 (x + 6) y? — 0,
système d'équations qui n’admet que la solution x = 0, y — 0. Formant la différentielle seconde d?f, on trouve
df—= 4 {2 afdat — (a + 6) ydxdy + [3y° — (a + F)xldy" }
et par suite À = 8 af, B—0o, C—0o, AC—B—0;
on a donc ici ®”” (o) — 8afh°, quantité positive qui ferait croire à un minimum, mais qui s’annule pour h — o quel que soit £. On ne peut donc conclure. On trouve en effet, en posant y? — Àx, f@,y)=2 (— 24) (À — 2f),
et l’on voit que f(x, y) est toujours positif, sauf pour À compris entre 2a et 25, où f devient négatif; f (0, o) n’est donc pas un minimum.
458. Une méthode semblable s'applique aux fonctions de trois ou d’un plus grand nombre de variables. On verra d’abord que, pour que f(x, y, z) devienne maximum ou minimum pour un système (a, b, c) de valeurs des variables, il faut (sauf les cas de discontinuité) que D,f, D,f, D.f s’annulent pour ce système (a, b, c), et ce principe fournira trois équations dont les solutions pourront donner des systèmes convenables.
Ensuite, d?f devra rester de même signe, pour x = a, y—=b, z —c, quelles que soient les valeurs de dx, dy, dz (sauf dx = dy — dz — 0), et en transformant d?f en une forme quadratique homogène comme ci-dessus, on en déduira un certain nombre de conditions qui devront être vérifiées pour le maximum ou le minimum. S'il y a doute, on passera à d‘f, et ainsi de suite.
Dans certains cas, les conditions particulières du problème indiquent
d'avance s’il y a un maximum, ou s’il y a un minimum, et dispensent de cet examen détaillé.
459. Application. — Trouver la plus courte distance entre deux points appartenant à deux droites données D et D; dans l’espace.
Mettons les équations de ces deux droites sous une forme convenable. Soient X, Y, Z les cosinus directeurs de la droite D prise dans un sens déterminé; a, b, c, les coordonnées d’un point fixe P, x, y, z celles d’un point variable M sur cette droite, w la distance PM, positive dans le sens (X, Y, Z), négative en sens contraire. Les équations de D peuvent s'écrire
(4) x=a#+Xu, y—=b+Yu, z2=c+ Zu, et de même celles de D;, (5) œa = Xi, Yi=bi + Yiu, = 04 + Zi,
en marquant de l'indice 1 les lettres qui se rapportent à D:. Le carré de la distance æ des points M et M, a pour expression
me (es — G) + (ya — y} + (ui — 2),
et pour que #° soit un minimum, il faut, d’après la règle du N° 156, u et uw, étant deux variables indépendantes, que les dérivées partielles de æ° par rapport à ces variables s’annulent, ce qui donne les équations (a a)X Hyi—yY +(u—2)Z =o,
Q@i — x) Xa + (ya — y) Yi + (ai — 2) 1 = 0, ce qui fait voir que la droite de longueur minimum O0, est perpendiculaire à D et à D,. Posons (7) A—YZ1—Z2Yi, B—2ZX;—XZ,, C—=XY:— YX;,
ce qui nous donnera (8) AXEBY—HCZ=0o, AX:+ BY: + CZis=o et en désignant par o l’angle compris entre les directions de D et de D4, AH BHLC—= I — (XX HYYi +22) = 1 — cos ?p = sin *w, (9) sin ç = /A? + B? + C?.
Les équations (6) nous donneront
di —X Yi—Y 2 DE, AE A(xi—x) + B(ys — y) + C(z1 — 2)
ee
A B GENE SeTe sin ?®
A cause des équations (4), (5) et (8), le numérateur de cette dernière expression se réduit à
(10) H— À (ai — à) + B (bi — b) + C (ei — €)
et nous avons enfin
sr > Li — 2 —— TA T—= + sin? ®, sin? o sin @
(11) Ra rene o, æ étant positif, il faudra prendre le signe + ou le signe — selon que H sera positif ou négatif, c’est-à-dire selon que x, — «x sera de même signe que A ou de signe contraire ; ou encore, que la droite O0; sera dirigée ou non dans le sens.où la rotation de (X, Y, Z) vers (X;, Y1, Za1) paraît se faire de la gauche vers la droite. Pour trouver les valeurs de « et #; qui déterminent ces points O et O;,, on remplacera dans les équations (11) Li — XL, Yi — Y, Z1 — Z par leurs valeurs tirées de (4) et (5), et en multipliant les équations ainsi obtenues respectivement par X, Y,Z et ajoutant, eu égard à l’équation (8), on aura
(as — a) X + (bi — 0) Y (ci — c)Z — u + uw cos o — 0.
Posons (ai — a) X + (b1 — db) Y + (ci — c)Z = p, (12) Ma a)x EU Da zip, nous aurons U—U COSP—D, U COS P — Ui = Pi, la seconde équation s’obtenant par un procédé analogue. D’où, immédiatement, (13) perse LE at pl = P:S sin? @ sin? @
L'interprétation géométrique de ces équations est facile, Il reste à vérifier si ces valeurs correspondent effectivement à un minimum de 7°. Or, on voit sans peine que
0? w° 0? æ° a — 2 2 2\E Us ee FRS 2 (XPH Y HZ) = 2, du % 02 œ° Ter 2 (XX: + YYi+ZZ)=— 2000, i |
et l'expression AC — B? du N° 458 devient 4 sin? ® > o; d’ailleurs A = 2 > o, c’est donc bien un minimum.
Exercices.
