Q LÉ: FONCTIONS D'UNE SEULE VARIABLE INDÉPENDANTE

460. On appelle fonctions implicites celles qui sont liées aux variables indépendantes par des équations non résolues. Dans l'équation

x5 — y5 — 3uxy — 0, y est fonction implicite de x. Les règles de différentiation de ces fonctions découlent des principes que nous allons établir sur l’existence et la

continuité des fonctions définies par des équations de cette espèce, en commençant par les équations entre deux variables,

Tuéorème. — Soit F (x, y) une fonction simple des variables x, y, qui s'annule pour un système de valeurs (a, b). Si dans le voisinage de ce système, la fonction F (x, y) et ses dérivées partielles par rapport à x et à y, F, (x, y), F, (x, y) sont finies et continues par rapport à ces variables ; si de plus E (a, bjest © ou < 0, il existe, dans le voisinage de la valeur a de x, une fonction simple y dè x qui est finie et continue, qui vérifie l'équation F (x, y) == o, qui prend la valeur y — b pour x — a, et qui admet une dérivée également finie et continue.

D’après les conditions supposées, on peut déterminer deux quantités À et m telles que, pour tout système (x, y) compris dans la région (a + À, b + y) ou T, on aura WA F° (x, y) < Aet WA F' (x, y) > B, A et B étant des nombres finis, car F° (x, y) ne s’annulant pas au point (a, b) ct étant fonction continue ne peut s’annuler dans une région déterminée autour de ce point. De plus, comme ce qui est vrai pour une valeur de À est vrai à plus forte raison pour une valeur plus petite, on peut toujours admettre que À et p vérifient l'inégalité (1) AA € uB.

Cela posé, soient h, k des accroissements respectivement égaux ou inférieurs en valeur absolue à À, u; la formule de Taylor donnera, F (a, b) étant nul par hypothèse, (2)F(a+h,b+k)—RF, (a +0h, b + 0k) +RkF, (a + 0h, b + 0k), 0 étant > o et < 1. Dans le second membre, F° a une valeur absolue < A, F, une valeur absolue © B, et si nous prenons Wh <,k—ÆE, il viendra

WhFe(a—+0h,b+0h) < 14 < uB VAE’ (a + 0h, b + 0k).

Le second membre de l’équation (2) aura done le signe de son dernier terme, et comme F° a un signe invariable dans la région T, ce dernier terme changera de signe avec k. Donc, pour chaque valeur de À dans l'intervalle (— À, +), F(a+h,b+k) a des signes contraires pour k——u et k— Lu; donc, pour toute valeur de x de l'intervalle (a —), a+), F (x, y) admet des signes contraires pour y —b —p, y —=0 + y, et s’annule (66) pour une valeur de y > b—.uet < by, mais pour une seule, car s’il existait dans cet intervalle deux valeurs de y

donnant F (x, y) — 0, F° (x, y) devait s’annuler (94) entrey—=b— et y —b—+u, ce qui est contre l'hypothèse.

Le système de ces valeurs de y qui, pour chaque valeur de x, annulent la fonction F (x, y), constitue évidemment une fonction simple y = ® (x) qui vérifie l’équation F (x, y) — o dans la région T. Pour x — a, cette fonction prend la valeur y — b, car on a F (a, b) — o et o (x) est fonction simple. Elle est aussi continue pour x = a, car si h, k désignent les accroissements correspondants de x et de œ@ (x), on a F (a +, b— k) = o, et en vertu de l'équation (2),

(3) RE! (a+ 0h, b+0k)+kF, (a + 0h, b + 0k) = o.

Si k a pour limite zéro, comme F° et F} conservent des valeurs finies et que WF" ne peut être inférieur à B, il faut que Æ ait pour limite zéro. Remarquons d’ailleurs que les raisonnements faits Jusqu'ici subsistent si l’on prend, au lieu du point (a, b), tout autre point (x, y) de la région T qui vérifie l'équation F (x, y) — o, donc la fonction o (x) sera continue dans l’intérieur de cette région. Enfin, de l'équation (3) entre les accroissements de x et de o (x),

k F,(a—-6h, b +0) k F'(a+-06h, bb)"

nous tirons en faisant tendre À vers zéro, F! et F, étant continus pour le système de valeurs (a, b),

lim-= ———:

(4) h ONE (a db) La fonction o (x) admet donc une dérivée ®’ (a) pour x = a, et il en est de même pour toute autre valeur de x comprise entre a — À, a + À, puisque le même raisonnement lui est applicable. Ainsi l’on a, dans le voisinage du point (a, b), dy F; (x, y) LC En 0 OR Er A e ? (a) dx F, (x, y) 4 d’où la relation entre dx et dy, Fi (x, y) dx + F7 (x, y) dy = 0,

ou

OF, OF (2) Ge dd = 0:

On prouverait de même que, si les dérivées partielles du second ordre de F sont continues dans la région T, + (x) admettra une dérivée seconde p’’ (x), et ainsi de suite.

161. Au reste, l’existence de la fonction simple et continue de x définie par une équation donnée entre x et y, et celle de ses dérivées, étant une fois prouvées, la détermination de ces dérivées successives se fait facilement au moyen des dérivées partielles successives de F (x, y). En effet, regardant F (x, y) comme une fonction composée de x par la substitution y — @ (x), sa dérivée DF (x, y) sera nulle puisque F (x, y) s’annule pour y = ® (x), et Len la règle du N° 148, on aura

OF di (5) Œ + oy de — © ce qui détermine Dy et s’accorde avec l’équation (x). De même, puisque DF est constamment nul, sa dérivée totale D?F par rapport à x est nulle aussi, et en la formant par les principes du N° 454 et observant que l’on peut prendre dx constant, on aura 0°F SES dy , d’Fdy? , OF d° (6) 0x? ? Oxoy Te VA 2e dy Em a équation qui donnera dy : dx? ou D?y. Et ainsi de suite pour D5y, ete. 462. Soit, comme exemple, l'équation

(A) y — 3axy + a — 0.

La règle (5) donne, en divisant par 3, d (B) (®— ax) + (at — ay) = 0, d’où

d (y® — ax) Lay y TE — 20 À + 28 = 0,

d’où, remplaçant dy : dx par sa valeur NT

d2 pr de | Aa 2 = 2 etes Jr) e. =

y — ax y ax — ax)?

ne — ax)? + a Ge — ay) G — ax) + y (x? — ay].

On remarque que ces dérivées, et en général que les dérivées obtenues par cette voie, renferment dans leur expression la fonction y en même temps que la variable x, mais l'équation F (x, y) — o permet souvent de simplifier. Ainsi, si l’on développe la valeur de d?y : dx? et que l’on ait égard à l’équation (A), on trouvera

d°y 2a%xy TEE © 463. Remarque. La théorie ci-dessus montre que, dans une région où F, F’, F, sont des fonctions continues de (x, y) et où F, ne s’annule pas, l'équation F = o définit une fonction y — @ (x) simple et continue dans le voisinage de chacun de ses points, mais céla n’exclut pas la possibilité que l'équation admette plusieurs solutions pour ehaque valeur de x. Seulement, ces divers systèmes de valeurs de y sont séparés et constituent en quelque sorte autant de branches d’une même fonction ; ce n’est que dans le voisinage d’un système (a, b) pour lequel les conditions ne

seraient plus remplies, en particulier, pour lequel on aurait F, (a, b) ou OF AL :

on — 0, que plusieurs branches pourraient se réunir et que la fonction simple cesserait d'exister. On remarquera que, pour ces valeurs, les équations (4), (5), (6) ne s'appliquent plus à la détermination des déri-

vées de JE

Exercices.

dy a --- 6x tg (ax +- by)

. Bx2192 Ï by) — , = = — ————————— 0.

xls An PEE Lt dx b + 2y tg (ax + by) dy y l.æ—71 LA L ce e = = — = — e DOVE D dæ a l.y—1 dy xi— ay d’y Gaxy (x5y5 + 2?) 5 — 5 — 0: ES — RE RE 8. y5 — 5axy + x — 0; TE pr pausy* Le try d b2 — y?

4. arc sin = are sin Ÿ — 0: LE TETE a b dx V'a— 2 dy a — y + y/ a — 2 me Ve MEN (2) 2 2 2 2 2 NOR (LE A) PP A © en RE ICDer ter (3 æ dx x—y da? (x — y}°

&6. Démontrer que si l’on a, entre æ et y, l'équation a Bay" — «y (x? + y?) — 70 — 0, on aura celles-ci dx dy ———— + Va? + 5) (ga? —n) V/ (ay? +3) (8y? — à)

Ba? — By? 8 m/s Va

2. Démontrer que les fonctions y — arc tg æ, y = arc sin x satisfont ÉPDérA NE aux équations suivantes, n étant entier et positif :

d't1y anx d'y n(n—1) — 1) d'y dati = +? da" rat dat

dM+2y (2n + i)x d'tiy ny

8. Démoutrer que la fonction y = x : (e* — 1) vérifie, pour n > 2 etæ —0, l'égalité

d'—! 2e. n—2 n (+), +2 (+). A ame (&), + Yo —0.

R. On met l’équation donnée sous la forme (#*— 1) y— æ — 0; on applique la théorie ci-dessus et la formule de Leibnitz.